Đề thi học sinh giỏi
Năm học: 2015-2016
Môn: Toán lớp 12 THPT
Câu I: (4 điểm)
Cho hàm số $y=-\frac{1}{3}x^{3}+2x^{2}-3x+1$
1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số
2) Gọi $f_{(x)}=x^{3}-6x^{2}+9x-3$, tìm số nghiệm của phương trình:
$(f_{(x)})^{3}-6(f_{(x)})^{2}+9f_{(x)}-3=0$
Câu II: (4 điểm)
1) Giải phương trình: $(1+Sinx)(1-2sinx)+2(1+2sinx).cosx=0$
2) Giải hệ phương trình:
$\left\{\begin{matrix} 2^{2x-y}-2^{x+y}=(x+y)\sqrt{x+y}-(2x-y)\sqrt{2x-y} & & \\ \sqrt[3]{y}-2(x-1)^{3}+1=0 & & \end{matrix}\right.$
Câu III: (4 điểm)
1) Từ các chữ số $0,1,2,3,4$ lập các số chẵn có 4 chữ số đôi 1 khác nhau. Lấy ngẫu nhiên một số vừa lập. Tính xác suất để được số lớn hơn 2012
2) Tính tích phân $I=\int_{\frac{-\amalg }{2}}^{\frac{\amalg }{4}}\frac{(sinx+cosx)dx}{3sin^{2}x+4cos^{2}x}$
Câu IV: (6 điểm)
1) Trong mặt phằng tọa độ Oxy cho đường tròn $(C): x^{2}+y^{2}=9$, đường thẳng $\bigtriangleup : y=x-3+\sqrt{3}$ và điểm $A(3;0)$. Gọi $M$ là một điểm thay đổi trên $(C)$ và $B$ là điểm sao cho tứ giác $ABMO$ là hình bình hành. Tính diện tích tam giác $AMB$, biết trọng tâm $G$ của tam giác $AMB$ thuộc $\bigtriangleup$ và $G$ có tung độ dương
2) Cho hình chóp $S.ABCD$, đáy là hình chữ nhật có $AB=a$ và $BC=2a$, mặt phẳng $(SAB)$ vuông góc với đáy, các mặt phẳng $(SBC)$ và $(SCD)$ cùng tạo với đáy một góc bằng nhau. Biết khoảng cách giữa 2 đường thẳng $SA$ và $BD$ là $\frac{2a}{\sqrt{6}}$.
a) Tính thể tích khối chóp $S.ABCD$
b) Tính cosin góc giữa 2 đường thẳng $SA$ và $BD$
Câu V: (2 điểm)
Cho các số thực $x,y,z$ thỏa mãn: $x> \frac{1}{3},y> \frac{1}{2},z> 1,\frac{3}{3x+2}+\frac{2}{2y+1}+\frac{1}{z}\geq 2$
Tìm GTLN của $A=(3x-1)(2y-1)(z-1)$
Bài này chắc ai cũng làm được 
