Chủ đề này có 4 trả lời

[cachcach10x]

a,b,c>0, abc=1. CMR:

a, $a^{2}+b^{2}+c^{2}+\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\geq 2(a+b+c)$

b, $2(a^{2}+b^{2}+c^{2})+\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\geq 3(a+b+c)$

c, $m(a^{2}+b^{2}+c^{2})+n(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c})\geq (m+n)(a+b+c) với m\geq n>0$

[Silverbullet069]

a,b,c>0, abc=1. CMR:

a, $a^{2}+b^{2}+c^{2}+\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\geq 2(a+b+c)$

b, $2(a^{2}+b^{2}+c^{2})+\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\geq 3(a+b+c)$

c, $m(a^{2}+b^{2}+c^{2})+n(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c})\geq (m+n)(a+b+c) với m\geq n>0$

a) $a^{2}+b^{2}+c^{2}+\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}$

Áp dụng BĐT Cô-si, ta có :

$\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c} \geq 3.\sqrt[3]{\frac{1}{abc}} = 3.\sqrt[3]{\frac{1}{1}} = 3$

$\Rightarrow a^{2}+b^{2}+c^{2}+\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c} \geq a^{2}+b^{2}+c^{2} + 3$

Lại có :

$a^2 + 1 \geq 2a$

$b^2 + 1 \geq 2b$

$c^2 + 1 \geq 2c$

$\Rightarrow a^{2}+b^{2}+c^{2} + 3 \geq 2(a + b + c)$

$\Rightarrow a^{2}+b^{2}+c^{2}+\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c} \geq 2(a + b + c)$

Dấu "=" xảy ra $\Leftrightarrow a = b = c = 1$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Silverbullet069: 28-08-2015 - 18:14

[cachcach10x]

a) $a^{2}+b^{2}+c^{2}+\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}$

Áp dụng BĐT Cô-si, ta có :

$a^{2}+b^{2}+c^{2} \geq 3.\sqrt[3]{(abc)^2} = 3.\sqrt[3]{1} = 3 = a + b + c$

$\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c} \geq 3.\sqrt[3]{\frac{1}{abc}} = 3.\sqrt[3]{\frac{1}{1}} = 3 = a + b + c$

$\Rightarrow a^{2}+b^{2}+c^{2}+\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c} \geq 2(a + b + c)$

Dấu "=" xảy ra $\Leftrightarrow a = b = c = 1$

b) Tương tự câu a)

c) $m(a^{2}+b^{2}+c^{2})+n(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c})\geq (m+n)(a+b+c)$

Áp dụng BĐT Cô-si, ta có :

$a^{2}+b^{2}+c^{2} \geq 3.\sqrt[3]{(abc)^2} = 3.\sqrt[3]{1} = 3 = a + b + c$

$\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c} \geq 3.\sqrt[3]{\frac{1}{abc}} = 3.\sqrt[3]{\frac{1}{1}} = 3 = a + b + c$

$\Rightarrow m(a^{2}+b^{2}+c^{2})+n(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}) \geq m(a + b + c) + n(a + b + c) = (a + b + c)(m + n)$

Dấu "=" xảy ra $\Leftrightarrow a = b = c = 1$

$a+b+c\geq 3\sqrt[3]{abc}=3\Rightarrow a+b+c \geq 3$ chứ.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi cachcach10x: 28-08-2015 - 17:51

[Silverbullet069]

$a+b+c\geq 3\sqrt[3]{abc}=3\Rightarrow a+b+c \geq 3$ chứ.

À, ừ, mình xin lỗi, đã sửa lại rồi.

[Silverbullet069]

a,b,c>0, abc=1. CMR:

b, $2(a^{2}+b^{2}+c^{2})+\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\geq 3(a+b+c)$

b) Ta đã c/m được : $a^{2}+b^{2}+c^{2} + \frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c} \geq 2(a + b + c)$

Giờ cần phải c/m : $a^{2}+b^{2}+c^{2} \geq a + b + c$

Ta có : $a^{2}+b^{2}+c^{2} = \frac{a^2}{1} + \frac{b^2}{1} + \frac{c^2}{1} \geq \frac{(a + b + c)^2}{3}$

Áp dụng BĐT Cô-si, ta có :

$a + b + c \geq 3.\sqrt[3]{abc} = 3.\sqrt[3]{1} = 3$

$\Rightarrow \frac{(a + b + c)^2}{3} = \frac{(a + b + c).(a + b + c)}{3} \geq \frac{3(a + b + c)}{3} = a + b + c$

$\Rightarrow a^{2}+b^{2}+c^{2} \geq a + b + c$

Vậy $2(a^{2}+b^{2}+c^{2})+\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\geq 3(a+b+c)$