Chủ đề này có 4 trả lời

[Minhnguyenthe333]

Đây là topic đầu tiên của mình. Mong nhận được sự ủng hộ của mọi người 

1/PHƯƠNG PHÁP ĐƯA VỀ TỔNG BÌNH PHƯƠNG:

GIả sử cần tìm max, min của biểu thức $P$.Ta biến đổi $P$ về dạng $P=xA^{2m}+yB^{2n}+zC^{2p}+D$ $(x,y,z$ cùng dấu$)$ và $D$ là hằng số.

+Nếu $x,y,z\geq 0$ thì $P_{min}= D$ khi $A^{2m}=B^{2n}=C^{2p}=0$

+Nếu $x,y,z\leq 0$ thì $P_{max}=D$ khi $A^{2m}=B^{2n}=C^{2p}=0$

*Vận dụng*:

1/Tìm min của các biểu thức sau với $x\in mathbb{R}$

a)$A=x^2-6x-3$

b)$B=3x^2+2x-1$

c)$C=x^2+mx+n$

2/Cho số thực $x,y$ thỏa $x+y=2$.Tìm min của $A=x^3+y^3+2xy$

3/Cho số thực $x,y$ thỏa: $x^2+2xy+7(x+y)+2y^2+10=0$.Tìm max,min của: $S=x+y+3$

4/Tìm $a.b$ để $P=\frac{ax+b}{4x^2+1}$ có GTNN là $-\frac{1}{6}$ và GTLN là $\frac{1}{2}$

5/Cho $x,y,z\in R$ thỏa $x+y+z=1$.TÌm max của $P=2xy+3yz+4zx$

2/PHƯƠNG PHÁP HÌNH HỌC:

+BĐT tam giác.Với 3 điểm $M,N,P$ ta luôn có:

$\left | MP-MN \right |\leq NP \leq MP+MN$

   -BĐT $\left | MP-MN \right |\leq NP$ xảy ra khi $$M,N,P$$ thẳng hàng và $M$ nằm ngoài $NP$

   -BĐT $NP \leq MP+MN$ xảy ra khi $M,N,P$ thẳng hàng và $M$ nằm trong $NP$

+Nếu $A(x_a,y_a),B(x_b,y_b)$ thì: $AB=\sqrt{(x_b-x_a)^2+(y_b-y_a)^2}$

*Vận dụng*:

1/Tìm max của: $P=\left | \sqrt{x^2-4x+5}-\sqrt{x^2+6x+13} \right |$

2/Tìm min của: $y=\sqrt{2x^2+2x+1}+\sqrt{2x^2-4x+4}$

3/Cho $a,b,c\in R$.Tìm min của

$P=\sqrt{a^2+(1-b)^2}+\sqrt{b^2+(1-c)^2}+\sqrt{c^2+(1-a)^2}$

3/PHƯƠNG PHÁP SỬ DỤNG BĐT CHỨA DẤU GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI

+Với mọi $x,y\in R$ ta có $\left | x+y \right |\leq \left | x \right |+\left | y \right |$.Dấu "=" xảy ra khi $xy\geq 0$

+Với mọi $x,y\in R$ ta có $\left | x-y \right |\geq \left | x \right |-\left | y \right |$.Dấu "=" xảy ra khi $y(x-y)\geq 0$

*Vận dụng*

1/Tìm min của: $P=\left | x+1 \right |+\left | x+2 \right |+...+\left | x+6 \right |$

2/Cho $x,y,z$ thỏa $0<a\leq x,y,z\leq b$.Tìm max của:

$T=\frac{\left | ab-xy \right |}{(x+y)z}+\frac{\left | bc-yz \right |}{(y+z)x}+\frac{\left | ca-zx \right |}{(z+x)y}$

P.S:Bài làm rồi được tô màu xanh

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Minhnguyenthe333: 29-08-2015 - 08:47

[Silverbullet069]

Đây là topic đầu tiên của mình. Mong nhận được sự ủng hộ của mọi người 

3/PHƯƠNG PHÁP SỬ DỤNG BĐT CHỨA DẤU GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI

+Với mọi $x,y\in R$ ta có $\left | x+y \right |\leq \left | x \right |+\left | y \right |$.Dấu "=" xảy ra khi $xy\geq 0$

+Với mọi $x,y\in R$ ta có $\left | x-y \right |\geq \left | x \right |-\left | y \right |$.Dấu "=" xảy ra khi $y(x-y)\geq 0$

*Vận dụng*

1/Tìm min của: $P=\left | x+1 \right |+\left | x+2 \right |+...+\left | x+6 \right |$

2/Cho $x,y,z$ thỏa $0<a\leq x,y,z\leq b$.Tìm max của:

$T=\frac{\left | ab-xy \right |}{(x+y)z}+\frac{\left | bc-yz \right |}{(y+z)x}+\frac{\left | ca-zx \right |}{(z+x)y}$

P.S:Bài làm rồi được tô màu xanh

1/$P=\left | x+1 \right |+\left | x+2 \right |+...+\left | x+6 \right |$

$= (|x + 1| + |x + 6|) + (|x + 2| + |x + 5|) + (|x + 3| + |x + 4|)$

$= (|x + 1| + |-x - 6|) + (|x + 2| + |-x - 5|) + (|x + 3| + |-x - 4|)$

$\geq |x + 1 - x - 6| + |x + 2 - x - 5| + |x + 3 - x - 4|$

$\geq |-5| + |-3| + |-1|$

$\geq 5 + 3 + 1 = 9$

Dấu "=" xảy ra $\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} (x + 1)(-x - 6) \geq 0 & \\ (x + 2)(-x - 5) \geq 0 & \\ (x + 3)(-x - 4) \geq 0 & \end{matrix}\right.$

Phần này chắc phải tự giải thôi, $3TH \Rightarrow 6TH$ cùng âm hoặc cùng dương, mình không giải ra được vì quá lằng nhằng

$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} -6 \leq x \leq -1 & \\ -5 \leq x \leq -2 & \\ -4 \leq x \leq -3 & \end{matrix}\right.$

$\Leftrightarrow -4 \leq x \leq -3$

Vậy $Min P = 9 \Leftrightarrow -4 \leq x \leq -3$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Silverbullet069: 29-08-2015 - 08:43

[Silverbullet069]

5/Cho $x,y,z\in R$ thỏa $x+y+z=1$.TÌm max của $P=2xy+3yz+4zx$

Nguồn : diendantoanhoc.net

Thay $z=1-x-y$

$P=2xy+3y(1-x-y)+4x(1-x-y)\Leftrightarrow 4x^{2}+(5y-4)x+3y^{2}-3y+P=0$

Phương trình bậc 2 theo x. Phương trình có nghiệm khi và chỉ khi

$\Delta \geq 0\Leftrightarrow (5y-4)^{2}-4.4.(3y^{2}-3y+P)\geq 0\Leftrightarrow -23y^{2}+8y+16\geq 16P$

Vì $-23y^{2}+8y+16=-23(y-\frac{4}{23})^{2}+\frac{384}{23}\leq \frac{384}{23}$

$\Rightarrow 16P\leq \frac{384}{23}\Rightarrow P\leq \frac{24}{23}$

$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x=\frac{9}{23} \\ y=\frac{4}{23} \\ z=\frac{10}{23} \end{matrix}\right.$

[Silverbullet069]

3/Cho số thực $x,y$ thỏa: $x^2+2xy+7(x+y)+2y^2+10=0$.Tìm max,min của: $S=x+y+3$

$x^2 + 2xy + 7(x + y) + 2y^2 + 10 = 0$ (Nguồn violet.vn)
$\Rightarrow 4x^2 + 8xy + 28x + 28y + 8y^2 + 40 = 0$
$\Rightarrow 4x^2 + 4y^2 + 49 + 8xy + 28x + 28y + 4y^2 - 9 = 0$
$\Rightarrow (2x)^2 + (2y)^2 + 7^2 + 2(2x.2y + 2y.7 + 7.2x) + 4y^2 - 9 = 0$
$\Rightarrow (2x + 2y + 7)^2 + 4y^2 = 9$
Ta có : $4y^2 \geq 0$ với mọi y
$\Rightarrow (2x + 2y + 7)^2 \leq 9$
$\Rightarrow (2x + 2y + 7)^2 - 9 \leq 0$
$\Rightarrow (2x + 2y + 7)^2 - 3^2 \leq 0$
$\Rightarrow (2x + 2y + 10)(2x + 2y + 4) \leq 0$
$\Rightarrow 4(x + y + 5)(x + y + 2) \leq 0$
$\Rightarrow (x + y + 5)(x + y + 2) \leq 0$
$\Rightarrow \left\{\begin{matrix}
x + y + 5 \geq 0 & \\
x + y + 2 \leq 0 &
\end{matrix}\right.(1)\Rightarrow \left\{\begin{matrix}
x + y + 3 \geq -2 & \\
x + y + 3 \leq 1 &
\end{matrix}\right.$
Vậy $Min S = -2 \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}
x = -5 & \\
y = 0 &
\end{matrix}\right.$
$Max S = 1 \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}
x = -2 & \\
y = 0 &
\end{matrix}\right.$

(1) Vì $x + y + 5 > x + y + 2 \Rightarrow$ không có TH $\left\{\begin{matrix}
x + y + 5 \leq 0 & \\
x + y + 2 \geq 0 &
\end{matrix}\right.$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Silverbullet069: 29-08-2015 - 09:37

[Silverbullet069]

1/Tìm min của các biểu thức sau với $x\in mathbb{R}$

a)$A=x^2-6x-3$

b)$B=3x^2+2x-1$

a) $A = x^2 - 6x - 3$

$= x^2 - 2.x.3 + 3^2 - 12$

$= (x - 3)^2 - 12 \geq -12$ với mọi x

Dấu "=" xảy ra $\Leftrightarrow x - 3 = 0$

                        $\Leftrightarrow x = 3$

Vậy Min $A = -12 \Leftrightarrow x = 3$

b) $B=3x^2+2x-1$

$= (\sqrt{3}x)^2 + 2.\sqrt{3}x.\sqrt{3}.\frac{1}{3} + (\sqrt{3}.\frac{1}{3})^2 - \frac{4}{3}$

$= (\sqrt{3}x + \sqrt{3}.\frac{1}{3})^2 - \frac{4}{3}$

$= [\sqrt{3}(x + \frac{1}{3})]^2 - \frac{4}{3} \geq - \frac{4}{3}$với mọi x

Dấu "=" xảy ra $\Leftrightarrow x + \frac{1}{3} = 0$

                        $\Leftrightarrow x = - \frac{1}{3}$

Vậy Min $B = - \frac{4}{3} \Leftrightarrow x = - \frac{1}{3}$

Do ĐK $x \in \mathbb{R}$ nên mình không làm cách tổng bình phương

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Silverbullet069: 30-08-2015 - 11:35