Chủ đề này có 1 trả lời

[Minhnguyenthe333]

Cho $a,b,c>0$ thoả $abc=1$.Chứng minh:
$a+b+c \geq \frac{1+a}{1+b}+\frac{1+b}{1+c}+\frac{1+c}{1+a}$

[nangcuong8e]

Cho $a,b,c>0$ thoả $abc=1$.Chứng minh:
$a+b+c \geq \frac{1+a}{1+b}+\frac{1+b}{1+c}+\frac{1+c}{1+a}$

Ta có: $\sum a \geq \sum \frac{1+a}{1+b}$

$\Leftrightarrow \sum \frac{ab-1}{1+b} \geq 0$

 Đặt $(a;b;c) \rightarrow (\frac{x}{y};\frac{y}{z};\frac{z}{x})$ ($x,y,z >0$), thay vào ta cần chứng minh:

$\frac{x-z}{z+y} +\frac{y-x}{x+z} +\frac{z-y}{y+x} \geq 0$

$\Leftrightarrow \sum (x^2-z^2)(y+x) \geq 0$ (do $a,b,c>0$)

$\Leftrightarrow x^3+y^3+z^3 \geq x^2z+y^2x +z^2y$ (luôn đúng với mọi $x,y,z > 0$)

 Dấu $"="$ xảy ra khi $x=y=z \Leftrightarrow a=b=c=1$