Cho tam giác ABC. Gọi D, E, F lần lượt là các tiếp điểm của BC, CA, AB với đường tròn nội tiếp tam giác ABC. Chứng minh rằng nếu $\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{BE}+\overrightarrow{CF}=\overrightarrow{O}$.thì tam giác ABC đều
Gọi O là tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC
Kẻ $DI\parallel AC$
Ta có:$\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{AI}+\overrightarrow{ID}=\frac{AI}{AB}.\overrightarrow{AB}+\frac{ID}{AC}.\overrightarrow{AC}$
Theo định lí ta có:$\frac{AI}{AB}=\frac{DC}{BC};\frac{ID}{AC}=\frac{BD}{BC}$
$\Rightarrow \overrightarrow{AD}=\frac{DC}{BC}.\overrightarrow{AB}+\frac{BD}{BC}.\overrightarrow{AC}$
Chứng minh tương tự:$\overrightarrow{BE}=\frac{CE}{AC}.\overrightarrow{BA}+\frac{AE}{AC}.\overrightarrow{BC}$
$\overrightarrow{CF}=\frac{AF}{AB}.\overrightarrow{CB}+\frac{BF}{AB}.\overrightarrow{CA}$
$\Rightarrow \overrightarrow{AD}+\overrightarrow{BE}+\overrightarrow{CF}=\overrightarrow{AB}\left ( \frac{DC}{BC}-\frac{CE}{AC} \right )+\overrightarrow{BC}\left ( \frac{AE}{AC}-\frac{AF}{AB} \right )+\overrightarrow{CA}\left ( \frac{BF}{AB}-\frac{BD}{BC} \right )$
$\Rightarrow \overrightarrow{0}=\overrightarrow{AB}\left ( \frac{DC}{BC}-\frac{CE}{AC} \right )+\overrightarrow{BC}\left ( \frac{AE}{AC}-\frac{AF}{AB} \right )+\overrightarrow{CA}\left ( \frac{BF}{AB}-\frac{BD}{BC} \right )$
$\Rightarrow \left\{\begin{matrix} \frac{DC}{BC}=\frac{CE}{AC} & & & \\ \frac{AE}{AC}=\frac{AF}{AB} & & & \\ \frac{BF}{AB}=\frac{BD}{BC} & & & \end{matrix}\right. \Rightarrow \left\{\begin{matrix} BC=AC(DC=CE) & & & \\ AC=AB(AE=AF) & & & \\ AB=BC(BF=BD) & & & \end{matrix}\right. \Rightarrow AB=BC=CA\Rightarrow$ tam giác ABC đều
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Dinh Xuan Hung: 02-09-2015 - 07:01