Chủ đề này có 3 trả lời

[tpctnd]

Tìm hàm số f(x) xác định và đồng biến trên R thỏa mãn:
$f(\frac{x+y}{2})=\frac{f(x)+f(y)}{2}$ với mọi x,y là số thực

[Nguyen Van Luc]

Đây là phương trình hàm Jensen mà bạn. 

Cho y=0, ta có: $f(\frac{x}{2}=\frac{f(x)+f(0)}{2}$ Vậy, $\frac{f(x)+f(y)}{2}=f(\frac{x+y}{2})=\frac{f(x+y)+f(0)}{2} \Rightarrow f(x+y)+f(0)=f(x)+f(y)$

đặt g(x)=f(x)-f(0), ta được g(x+y)=g(x)+g(y).

đây là phương trình hàm Cauchy. Đến đây ta có thể suy ra luôn hàm g(x) cần tìm là  g(x)=ax. Hoặc ta có thể chứng minh lại. 

Ta có g(x+y)=g(x)+g(y). Cho x=y=0.  ta được g(0)=2g(0). $\Rightarrow$ g(0)=0.

g(0)=g(x+(-x))=g(x)+g(-x)=0. $\Rightarrow$ g(-x)=-g(x). Do đó g(x) là hàm lẻ

Đặt a=g(1). Với n$n\geq 1, n \in \mathbb{N},$

Ta có g(n)=g((n-1)+1)=g(n-1)+g(1)=....=g(0)+n.g(1)=g(0)+an

Ta có: a=g(1)=$g(n.\frac{1}{n})=ng(\frac{1}{n}) \Rightarrow g(\frac{1}{n})=\frac{a}{n}$

Suy ra $\forall r=\frac{m}{n}\in \mathbb{Q}$ r>0

Ta có: $g(r)=g(\frac{m}{n})=g(m.\frac{1}{n})=mg(\frac{1}{n})=m.\frac{a}{n}=\frac{ma}{n}=ar$.

Do g(x) lẻ nên g(r)=ar cũng đúng với r<0.

Với $x\in \mathbb{R}$ tùy ý, chọn dãy số hữu tỉ ${r_{n}}_{n=1}^{+\infty}$ sao cho $\lim_{n\rightarrow +\infty }r_{n}=x$. Do g(x) liên tục trên $\mathbb{R}$ nên ta có 

$g(x)=g(\lim_{n\rightarrow +\infty}r_{n})=\lim_{n\rightarrow+\infty}g(r_{n}) =\lim_{n\rightarrow+\infty}ar_{n}=a\lim_{n\rightarrow+\infty}r_{n}=ax$

Vậy, g(x)=ax, $\forall x\in \mathbb{R}, a\in \mathbb{R}$

Từ đó: f(x)=g(x)+f(0)=ax+b $\forall x\in \mathbb{R}; a,b\in \mathbb{R}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Nguyen Van Luc: 02-09-2015 - 20:06

[tpctnd]

Đây là phương trình hàm Jensen mà bạn. 

Cho y=0, ta có: $f(\frac{x}{2}=\frac{f(x)+f(0)}{2}$ Vậy, $\frac{f(x)+f(y)}{2}=f(\frac{x+y}{2})=\frac{f(x+y)+f(0)}{2} \Rightarrow f(x+y)+f(0)=f(x)+f(y)$

đặt g(x)=f(x)-f(0), ta được g(x+y)=g(x)+g(y).

đây là phương trình hàm Cauchy. Đến đây ta có thể suy ra luôn hàm g(x) cần tìm là  g(x)=ax. Hoặc ta có thể chứng minh lại. 

Ta có g(x+y)=g(x)+g(y). Cho x=y=0.  ta được g(0)=2g(0). $\Rightarrow$ g(0)=0.

g(0)=g(x+(-x))=g(x)+g(-x)=0. $\Rightarrow$ g(-x)=-g(x). Do đó g(x) là hàm lẻ

Đặt a=g(1). Với n$n\geq 1, n \in \mathbb{N},$

Ta có g(n)=g((n-1)+1)=g(n-1)+g(1)=....=g(0)+n.g(1)=g(0)+an

Ta có: a=g(1)=$g(n.\frac{1}{n})=ng(\frac{1}{n}) \Rightarrow g(\frac{1}{n})=\frac{a}{n}$

Suy ra $\forall r=\frac{m}{n}\in \mathbb{Q}$ r>0

Ta có: $g(r)=g(\frac{m}{n})=g(m.\frac{1}{n})=mg(\frac{1}{n})=m.\frac{a}{n}=\frac{ma}{n}=ar$.

Do g(x) lẻ nên g(r)=ar cũng đúng với r<0.

Với $x\in \mathbb{R}$ tùy ý, chọn dãy số hữu tỉ ${r_{n}}_{n=1}^{+\infty}$ sao cho $\lim_{n\rightarrow +\infty }r_{n}=x$. Do g(x) liên tục trên $\mathbb{R}$ nên ta có 

$g(x)=g(\lim_{n\rightarrow +\infty}r_{n})=\lim_{n\rightarrow+\infty}g(r_{n}) =\lim_{n\rightarrow+\infty}ar_{n}=a\lim_{n\rightarrow+\infty}r_{n}=ax$

Vậy, g(x)=ax, $\forall x\in \mathbb{R}, a\in \mathbb{R}$

Từ đó: f(x)=g(x)+f(0)=ax+b $\forall x\in \mathbb{R}; a,b\in \mathbb{R}$

bạn có cách khác cơ bản hơn ko?

[Nguyen Van Luc]

Khi đến g(x+y)=g(x)+g(y) thì bạn có thể suy ra g(x)=ax luôn. vì nó là phương trình hàm cauchy, được áp dụng trực tiếp.