Đến nội dung

Hình ảnh

Có thể thu được bảng có $2010$ dấu $+$ trong bảng $2012 \times 2012$ không ?

- - - - - tổ hợp

  • Please log in to reply
Chủ đề này có 1 trả lời

#1
Zaraki

Zaraki

    PQT

  • Phó Quản lý Toán Cao cấp
  • 4273 Bài viết

Trong bảng $2012 \times 2012$, người ta chia thành các ô vuông con, người ta điền các dấu $+$ vào đó. Ở mỗi bước, người ta đổi toàn bộ dấu ở một hàng hoặc một cột nào đó của bảng ($+$ thành $-$ và $-$ thành $+$). Hỏi sau một số hữu hạn bước, có thể thu được bảng có đúng $2010$ dấu $+$ hay không ?


Discovery is a child’s privilege. I mean the small child, the child who is not afraid to be wrong, to look silly, to not be serious, and to act differently from everyone else. He is also not afraid that the things he is interested in are in bad taste or turn out to be different from his expectations, from what they should be, or rather he is not afraid of what they actually are. He ignores the silent and flawless consensus that is part of the air we breathe – the consensus of all the people who are, or are reputed to be, reasonable.

 

Grothendieck, Récoltes et Semailles (“Crops and Seeds”). 


#2
QDV

QDV

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 131 Bài viết

Tổng dấu + là 2012*2012

Chú ý rằng sau khi hoàn thành các bước thực hiện kết quả luôn thỏa các tính chất sau:

 1) Kết quả không phụ thuộc vào thứ tự thực hiện các bước

 2) Khi một hàng hoặc một cột thực hiện số bước là chẳn thì tương đương chưa thực hiện bước nào

 3) Khi một hàng hoặc một cột thực hiện số bước là lẻ thì tương đương thực hiện một bước

  Như vậy ta chỉ cần xét trường hợp thực hiện n bước trên n hàng khác nhau và thực hiện m bước trên m cột khác nhau

  Lúc này số dấu - là 2012(n+m)-2mn tại giao điểm của hàng cột thực hiện bước biến là dấu + có mn điểm như vậy nên

$mn\leq 2010$ (1)

 Sau khi hoàn thành các bước số dấu + là $2012^{2}-\left [ 2012\left ( m+n \right ) \right-2mn ]=2010 \left ( 2 \right )$

Từ (2) dễ dàng suy ra m+n>2012 kết hợp với (1) được m<1 và n>2011 hoặc m>2011 và n<1 vô lý. Vâỵ không tồn tại phép biến như trên







Được gắn nhãn với một hoặc nhiều trong số những từ khóa sau: tổ hợp

1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh