Chủ đề này có 1 trả lời

[viet nam in my heart]

Cho 2 số thực dương $a$ và $b$. Chứng minh rằng: $\left [ 5a \right ]+\left [ 5b \right ] \geq \left [ a\right ]+\left [ b \right ]+\left [ 3a+b \right ]+\left [ 3b+a \right ]$ (Ký hiệu $\left [x \right ]$ là số nguyên lớn nhất không vượt quá $x$)

[hoanglong2k]

Cho 2 số thực dương $a$ và $b$. Chứng minh rằng: $\left [ 5a \right ]+\left [ 5b \right ] \geq \left [ a\right ]+\left [ b \right ]+\left [ 3a+b \right ]+\left [ 3b+a \right ]$ (Ký hiệu $\left [x \right ]$ là số nguyên lớn nhất không vượt quá $x$)

 

   Đặt $a=[a]+x;b=[b]+y$ với $x,y\in [0;1)$. Khi đó BĐT cần chứng minh tương đương

$$[5[a]+5x]+[5[b]+5y]\geq [[a]+x]+[[b]+y]+[3[a]+[b]+3x+y]+[[a]+3[b]+x+3y]$$

$$\Leftrightarrow [5x]+[5y]\geq [3x+y]+[x+3y]\Leftrightarrow [5x]+[5y]-[3x+y]-[x+3y]\geq 0$$

   Giả sử $[5x]+[5y]-[3x+y]-[x+3y]<0$ và $x\geq y$ thì $[5x]+[5y]-[3x+y]-[x+3y]\leq -1$   (*)

   Khi đó

$$-1\geq [5x]+[5y]-[3x+y]-[x+3y]> 5x-1+5y-1-(3x+y)-(x+3y)$$

$$\Leftrightarrow -1\geq x+y-2\Leftrightarrow x+y\leq 1$$

   Lại có $[5y]-[3y+x]+1\leq [3x+y]-[5x]\leq [4x]-[5x]\leq 0$ nên $[5y]+1\leq [3y+x]\leq [2y+1]$

              $\Rightarrow 5y<2y+1\Rightarrow y<\dfrac{1}{3}$, mà với $y<\dfrac{1}{3}$ thì $[2y+1]\leq 1$ nên $[5y] \leq 0\Rightarrow [5y]=0$ và $y<\dfrac{1}{5}$ 

             $\Rightarrow  1\leq [3y+x]\leq [2y+1]\leq 1\Rightarrow [3y+x]=1\Rightarrow x+3y\geq 1\Rightarrow x\geq 1-3y>\dfrac{2}{5}\Rightarrow [5x]\geq 2$

   Thay vào (*) ta có : $[3x+y]\geq [5x]\geq 2\Rightarrow 3x+y\geq 2\Rightarrow x\geq \dfrac{2-y}{3}>\dfrac{3}{5}$

                                  $\Rightarrow [5x]\geq 3\Rightarrow 3\leq 3x+y\leq 2x+1\Rightarrow x\geq 1$  (vô lý) 

   Vậy điều giả sử sai, ta có điều phải chứng minh

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi hoanglong2k: 21-12-2015 - 12:54