Chủ đề này có 1 trả lời

[Bui Ba Anh]

Tìm bộ ba số nguyên dương $(x,y,n)$ thỏa mãn:

$$\dfrac{x!+y!}{n!}=3^n$$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Bui Ba Anh: 03-10-2015 - 23:05

[the man]

Tìm bộ ba số nguyên dương $(x,y,n)$ thỏa mãn:

$$\dfrac{x!+y!}{n!}=3^n$$

$x!+y!=n!.3^n$

Giả sử $x \leq y$

Có 2 Trường hợp:

$\blacklozenge$ Trường hợp 1. $x \leq n$

   Viết lại $1+\frac{y!}{x!}=\frac{n!}{x!}.3^n\rightarrow 3|1+\frac{y!}{x!}$.

   Nhận xét rằng tích của 3 số tự nhiên liên tiếp sẽ chia hết cho 3 $\rightarrow x<y\leq x+2$. Có 2 trường hợp:

   $\bullet $ Trường hợp 1.1. $y=x+1$ 

      Thay vào phương trình có $ x+2=\frac{n!}{x!}.3^n\rightarrow (x+2)!=n!.3^n.(x+1)\rightarrow x+2>n\geq   x\rightarrow n=x+1,x$

      - Trường hợp 1.1.1. $n=x \rightarrow x+2=3^x \rightarrow x=1,n=1,y=2$

      - Trường hợp 1.1.2. $n=x+1 \rightarrow x+2=3^{x+1}.(x+1)$ (vô nghiệm)

   $\bullet $ Trường hợp 1.2. $y=x+2$

      Thay vào phương trình ta có $1+(x+1)(x+2)=\frac{n!}{x!}.3^n\rightarrow \frac{x!}{n!}=\frac{3^n}{x^2+3x+3}\geq \frac{3^n}   {n^2+3n+3}>1$ với $n \geq 3$ (chứng  minh bằng quy nạp).

      Nên với $n \geq 3 $ thì $x>n \rightarrow n=1,2$

      -Trường hợp 1.2.1. $n=1 \rightarrow x!(x^2+3x+3)=3$ (vô nghiệm)

      -Trường hợp 1.2.2. $n=2 \rightarrow x!(x^2+3x+3)=18$ (vô nghiệm)

$\blacklozenge$ Trường hợp 2. $x > n$

   $\frac{x!}{n!}+\frac{y!}{n!}=3^n$ - số lẻ

   Nếu $x=y$ thì $3^n$ chắn suy ra $y>x$

   Ta có $y \geq n+2$ nên $\frac{y!}{n!}$ chẵn nên $\frac{x!}{n!}$ lẻ nên $x=n+1$. 

   Khi đó ta có $n+1+\frac{y!}{n!}=3^n$

   Do $\frac{y!}{n!}\vdots \frac{x!}{n!}\rightarrow \frac{y!}{n!}=(n+1)A \rightarrow (n+1)(1+A)=3^n$,   $A\in \mathbb{N^*}$

   Nếu $y \geq n+4$ thì $A\vdots 3\rightarrow (A+1,3)=1$ $\rightarrow y=n+2,n+3$

   $\bullet$ Trường hợp 2.1. $y=n+2$

       Thay vào phương trình ta có $n+1+(n+1)(n+2)=3^n \rightarrow (n+1)(n+3)=3^n$

       Dễ thấy $n+1$ và $n+3$ không thể đồng thời là các lũy thừa của 3

   $\bullet$ Trường hợp 2.2. $y=n+3$

      Thay vào phương trình ta có $n+1+(n+1)(n+2)(n+3)=3^n \leftrightarrow (n+2)^3-1=3^n$

      Từ đó $n>2, n+2\equiv 1 (mod 3)\rightarrow n+2=3k+1$ $(k>1, k\in \mathbb{N^*} )$

      Thay vào ta được $9k(3k^2+3k+1)=3^n$ nên $3k^2+3k+1$ là một lũy thừa của 3 (vô lí)

Vậy $(x,y,n)=(1,2,1),(2,1,1)$

 

 

 

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi the man: 22-11-2015 - 21:46