Chủ đề này có 4 trả lời

[phong09021998]

Có bao nhiêu số nguyên dương n thỏa mãn các điều kiện:

a) n có 1000 chữ số; b)Tất cả các chữ số của n là lẻ; c) Hiệu hai chữ số liên tiếp bất kì của n luôn bằng 2

[Issac Newton of Ngoc Tao]

a, $9.10^{999}$ số

b,Có Tập $A= 1,3,5,7,9$ suy ra có 5 phần tử 

Vì các số đều là số lẻ nên có: $5^{1000}$ số.

c,Vì hiệu 2 chữ số liên tiếp của n bằng 2 do đó tất cả các chữ số của n hoặc chẵn hoặc lẻ.

 Tập A= 1,3,5,7,9; Tập B= 0,2,4,6,8

 Từ mỗi tập A,B có:

4 tập con có 2 phần tử hơn kém nhau 2 đơn vị. suy ra có 2 cách xếp sao cho 2 số liền kề hơn nhau =2

3 tập con có 3 phần tử hơn kém nhau 2 đơn vị. suy ra có 2 cách xếp sao cho 2 số liền kề hơn nhau =2

2 tập con có 4 phần tử hơn kém nhau 2 đơn vị .suy ra có 2 cách xếp sao cho 2 số liền kề hơn nhau =2

1 tập con chứa cả 5 phần tử hơn kém nhau 2 đơn vị. suy ra có 2 cách xếp sao cho 2 số liền kề hơn nhau =2

Cứ lặp đi lặp lại các cách xếp các phần tử này trong số có 1000 chữ số ta được số cần tìm:

Vậy có:2(4.2+3.2+2.2+2)-1=39 số cần tìm (do bỏ đi trường hợp số bắt đầu bằng số 0)

P/s: Trình bày hơi dài do mình không biết dùng công thức chỉnh hợp tổ hợp trong latex

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Issac Newton of Ngoc Tao: 04-10-2015 - 14:21

[phong09021998]

a, $9.10^{999}$ số

b,Có Tập $A= 1,3,5,7,9$ suy ra có 5 phần tử 

Vì các số đều là số lẻ nên có: $5^{1000}$ số.

c,Vì hiệu 2 chữ số liên tiếp của n bằng 2 do đó tất cả các chữ số của n hoặc chẵn hoặc lẻ.

 Tập A= 1,3,5,7,9; Tập B= 0,2,4,6,8

 Từ mỗi tập A,B có:

4 tập con có 2 phần tử hơn kém nhau 2 đơn vị. suy ra có 2 cách xếp sao cho 2 số liền kề hơn nhau =2

3 tập con có 3 phần tử hơn kém nhau 2 đơn vị. suy ra có 2 cách xếp sao cho 2 số liền kề hơn nhau =2

2 tập con có 4 phần tử hơn kém nhau 2 đơn vị .suy ra có 2 cách xếp sao cho 2 số liền kề hơn nhau =2

1 tập con chứa cả 5 phần tử hơn kém nhau 2 đơn vị. suy ra có 2 cách xếp sao cho 2 số liền kề hơn nhau =2

Cứ lặp đi lặp lại các cách xếp các phần tử này trong số có 1000 chữ số ta được số cần tìm:

Vậy có:2(4.2+3.2+2.2+2)-1=39 số cần tìm (do bỏ đi trường hợp số bắt đầu bằng số 0)

P/s: Trình bày hơi dài do mình không biết dùng công thức chỉnh hợp tổ hợp trong la

 

a, $9.10^{999}$ số

b,Có Tập $A= 1,3,5,7,9$ suy ra có 5 phần tử 

Vì các số đều là số lẻ nên có: $5^{1000}$ số.

c,Vì hiệu 2 chữ số liên tiếp của n bằng 2 do đó tất cả các chữ số của n hoặc chẵn hoặc lẻ.

 Tập A= 1,3,5,7,9; Tập B= 0,2,4,6,8

 Từ mỗi tập A,B có:

4 tập con có 2 phần tử hơn kém nhau 2 đơn vị. suy ra có 2 cách xếp sao cho 2 số liền kề hơn nhau =2

3 tập con có 3 phần tử hơn kém nhau 2 đơn vị. suy ra có 2 cách xếp sao cho 2 số liền kề hơn nhau =2

2 tập con có 4 phần tử hơn kém nhau 2 đơn vị .suy ra có 2 cách xếp sao cho 2 số liền kề hơn nhau =2

1 tập con chứa cả 5 phần tử hơn kém nhau 2 đơn vị. suy ra có 2 cách xếp sao cho 2 số liền kề hơn nhau =2

Cứ lặp đi lặp lại các cách xếp các phần tử này trong số có 1000 chữ số ta được số cần tìm:

Vậy có:2(4.2+3.2+2.2+2)-1=39 số cần tìm (do bỏ đi trường hợp số bắt đầu bằng số 0)

P/s: Trình bày hơi dài do mình không biết dùng công thức chỉnh hợp tổ hợp trong latex

Bạn hiểu nhầm ý đề bài rồi, nói ngắn gọn thì đề bài là: 

Có bao nhiêu số gồm 1000 chữ số (đều là chữ số lẻ) mà hai chữ số cạnh nhau có hiệu bằng 2 ($\left | a{_{i}} - a{_{i+1}}\right | =2$)

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi phong09021998: 04-10-2015 - 17:57

[Issac Newton of Ngoc Tao]

 

 

Bạn hiểu nhầm ý đề bài rồi, nói ngắn gọn thì đề bài là: 

Có bao nhiêu số gồm 1000 chữ số (đều là chữ số lẻ) mà hai chữ số cạnh nhau có hiệu bằng 2 ($\left | a{_{i}} - a{_{i+1}}\right | =2$)

 

Bạn xem kỹ lại bài của mình đi mình không hiểu sai đề đâu.

[phong09021998]

Nếu đề bài đúng như mình nghĩ thì mình định giải như thế này :

Dùng sơ đồ cây, bắt đầu chọn từ chữ số đầu tiên trong 1000 chữ số rồi từ đó suy ra các chữ số tiếp theo như bên dưới :

$a_{1}$                                            1                                            3                                          5                                     7                                    9

$a_{2}$                                            3                             1                         5                  3                   7                  5                  9                          7

$a_{3}$                                       1       5                        3                     3        7       1        5         5       9        3        7              7                     5        9

                                                        .....................................................................................................................................

($a_{i}$ là chữ số thứ $i$ của n)

Dễ thấy số số có $i$ chữ số thỏa mãn điều kiện b) và điều kiện c) chính bằng số các chữ số 1, chữ số 3, chữ số 5, chữ số 7, chữ số 9 ở hàng $a_{i}$ cộng lại.

Ví dụ : Số số có 2 chữ số thỏa mãn điều kiện b) và điều kiện c) là 1+2+2+2+1=8 (ở hàng $a_{2}$)

           Số số có 3 chữ số thỏa mãn điều kiện b) và điều kiện c) là 2+3+4+3+2=14 (ở hàng $a_{3}$)

Vậy ta cần tìm tiếp ở $a_{1000}$.

Dễ thấy trên cùng một hàng số chữ số 1 bằng số chữ số 9, số chữ số 3 bằng số chữ số 7.

Gọi số chữ số 1 và số chữ số 9, số chữ số 3 và số chữ số 7,số chữ số 5 ở hàng $a_{i}$ lần lượt là $x_{i}$, $y_{i}$, $z_{i}$ ($i=\overline{1,n}$).

$\Rightarrow$ số số n là : 2$x_{i}+2y_{i}+z_{i}$

Để ý thấy :

$x_{i}=y_{i-1}$

$y_{i}=x_{i-1}+z_{i-1}$

$z_{i}=2y_{i-1}$

Từ các hệ thức trên ta có :

$2x_{i}+2y_{i}+z_{i}=2y_{i-1}+2(x_{i-1}+z_{i-1})+2y_{i-1}=2(x_{i-1}+2y_{i-1}+z_{i-1})=2[y_{i-2}+2(x_{i-2}+z_{i-2})+2y_{i-2}]=2(2x_{i-2}+3y_{i-2}+2z_{i-2})=2[2y_{i-3}+3(x_{i-3}+z_{i-3})+4y_{i-3}]=6(x_{i-2}+2y_{i-2}+z_{i-2})$

Rút ra được : $2x_{i}+2y_{i}+z_{i}=2(x_{i-1}+2y_{i-1}+z_{i-1})$  (2)

và $2(x_{i-1}+2y_{i-1}+z_{i-1})=6(x_{i-2}+2y_{i-2}+z_{i-2})\Leftrightarrow(x_{i-1}+2y_{i-1}+z_{i-1})=3(x_{i-2}+2y_{i-2}+z_{i-2})$  (1)

Từ (1) ta có 2 dãy số theo cấp số nhân :

( I ) $\left\{\begin{matrix}u_{1}=1+2\times 1+1=4& \\ u_{2k+1}=u_{1}\times 3^{k} & \end{matrix}$

$\left\{\begin{matrix}u_{2}=1+2\times 2+2=7& \\ u_{2k}=u_{2}\times 3^{k-1} & \end{matrix}$

trong bài này ta sẽ dùng hệ ( I ) tính $u_{999}$ bằng vế trái phương trình (2)  rồi suy ra kết quả bài toán.

$u_{999}=4\times 3^{499}\Rightarrow 2x_{1000}+2y_{1000}+z_{1000}=2(x_{999}+2y_{999}+z_{999})=2u_{999}=8\times 3^{499}$

Vậy có $8\times 3^{499}$ số n thỏa mãn điều kiện đề bài cho.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi phong09021998: 24-10-2015 - 22:25