Chủ đề này có 4 trả lời

[thanhhiencherry267]

Câu 1: Cho a,b,c là các số thực dương thỏa mãn abc$\leq$1

Chứng minh rằng  

$\frac{a}{c}+\frac{b}{a}+\frac{c}{b}\geqslant a+b+c$

 

Câu 2: Chứng minh rằng nếu $a> b> c$ thì  $\frac{2a^{2}}{a-b}+\frac{b^{2}}{b-c}> 2a+3b+c$

 

Câu 3: Cho 3 số dương a,b,c thỏa mãn $\sqrt{a^{2}+b^{2}}+\sqrt{b^{2}+c^{2}}+\sqrt{c^{2}+a^{2}}=\sqrt{2014}$

Chứng minh rằng:  $\frac{a^{2}}{b+c}+\frac{b^{2}}{c+a}\frac{c^{2}}{a+b}\geqslant \frac{1}{2}\sqrt{1007}$

Câu 4:Cho x,y,z là các số thực dương thỏa mãn xy+yz+zx=xyz

Chứng minh rằng:

$\frac{x^{2}}{x+yz}+\frac{y^{2}}{y+zx}+\frac{z^{2}}{z+xy}\geqslant \frac{1}{4}.(x+y+z)$

 

 

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Quoc Tuan Qbdh: 04-10-2015 - 17:52
Chú ý cách đặt tiêu đề

[dogsteven]

Bai 1.

Ta xet hai truong hop:

TH1: $a+b+c\geqslant ab+bc+ca$. Ap dung bat dang thuc Cauchy-Schwarz ta co: $VT\geqslant \dfrac{(a+b+c)^2}{ab+bc+ca}\geqslant a+b+c$

TH2: $a+b+c<ab+bc+ca$. Ap dung bat dang thuc Cauchy-Schwarz: $VT\geqslant abcVT = \sum a^2b\geqslant \dfrac{(ab+bc+ca)^2}{a+b+c}>a+b+c$

[huy2403exo]

 

Câu 4:Cho x,y,z là các số thực dương thỏa mãn xy+yz+zx=xyz

Chứng minh rằng:

$\frac{x^{2}}{x+yz}+\frac{y^{2}}{y+zx}+\frac{z^{2}}{z+xy}\geqslant \frac{1}{4}.(x+y+z)$

 

 

Xét $\sum \frac{x^2}{x+yz}-\sum \frac{x}{4}\geq 0\Leftrightarrow \sum 3x^2\geq 3xyz\Leftrightarrow x^2+y^2+z^2\geq xyz\Leftrightarrow x^2+y^2+z^2\geq xy+yz+zx$ (luôn đúng)

Dấu bằng khi $x=y=z$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi huy2403exo: 04-10-2015 - 22:21

[thanhhiencherry267]

Bài 4 làm rõ hơn đk ko bạn

[huy2403exo]

Bài 4 làm rõ hơn đk ko bạn

$\frac{x^2}{x+yz}-\frac{x}{4}\geq 0\Leftrightarrow 4x^2\geq x^2+xyz\Leftrightarrow 3x^2\geq xyz$

Tương tự $3y^2\geq xyz$ ;$3z^2\geq xyz$

Cộng vế