Chủ đề này có 3 trả lời

[linhtrang1602]

1) Tìm các cặp số ( x, y) nguyên dương sao cho $\frac{x^{3}+x}{xy-1}$ là số nguyên dương.

2) Cho x₁, x₂, x₃, x₄, x₅ là các số dương sao cho : x₁ + x₂ + x₃ + x₄ + x₅ = 1

     Chứng minh :

               $x_{1}x_{2}+x_{2}x_{3}+x_{3}x_{4}+x_{4}x_{5}\leq \frac{1}{4}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi linhtrang1602: 06-10-2015 - 17:55

[Namthemaster1234]

1) Tìm các cặp số ( x, y) nguyên dương sao cho $\frac{x^{3}+x}{xy-1}$ là số nguyên dương.

$xy-1 \mid x^3+x \Rightarrow xy-1 \mid x^2(xy-1)+x(x+y)$

 

$\Rightarrow xy-1 \mid x(x+y)$ mà $(x,xy-1)=1$ nên $xy-1 \mid x+y$

 

$x+y \geq xy-1 \Rightarrow (x-1)(y-1) \leq 2$ . Đến đây dễ rồi

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Namthemaster1234: 09-10-2015 - 21:36

[linhtrang1602]

$xy-1 \mid x^3+x \Rightarrow xy-1 \mid x^2(xy-1)+x(x+y)$

 

$\Rightarrow xy-1 \mid x(x+y)$ mà $(x,xy-1)=1$ nên $xy-1 \mid x+y$

 

$x+y \geq xy-1 \Rightarrow (x-1)(y-1) \leq 2$ . Đến đây dễ rồi

Mình chưa được học kí hiệu này. Bạn giải thích rõ dùm mình đc ko?

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi linhtrang1602: 11-10-2015 - 23:04

[ttlinhtinh]

Mình chưa hiểu phần này. Bạn làm rõ dùm mình đc ko?

Do $\frac{x^3+x}{xy-1}$ nguyên dương nên $xy-1|x^3+x$.

Mặt khác do $y$ nguyên dương nên cũng có: $xy-1|(x^3+x)y \Leftrightarrow xy-1|x^2(xy-1)+x(x+y)$

Suy ra: $xy-1|x(x+y)$

Chứng minh $(x,xy-1)= 1$ thì dễ rồi nên cuối cùng suy ra $xy-1|(x+y)$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi ttlinhtinh: 10-10-2015 - 22:35