Chủ đề này có 1 trả lời

[Rias Gremory]

Cho $x,y,z>0$ và $xyz \geq 1$ . Tìm Min : 

$P=\frac{x}{\sqrt{x+\sqrt{yz}}}+\frac{y}{\sqrt{y+\sqrt{xz}}}+\frac{z}{\sqrt{z+\sqrt{xy}}}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Rias Gremory: 06-10-2015 - 19:55

[the man]

Cho $x,y,z>0$ và $xyz \geq 1$ . Tìm Min :

$P=\frac{x}{\sqrt{x+\sqrt{yz}}}+\frac{y}{\sqrt{y+\sqrt{xz}}}+\frac{z}{\sqrt{z+\sqrt{xy}}}$

   $P=\sum \frac{x}{\sqrt{x+\sqrt{yz}}}\geq \sum \frac{x}{\sqrt{x+\frac{y+z}{2}}}=\sqrt{2}\sum \frac{x}{\sqrt{2x+y+z}}$

         $=4\sqrt{2}.\sum \frac{x}{2\sqrt{4(2x+y+z)}}\geq 4\sqrt{2}\sum \frac{x}{2x+y+z+4}$

Ta c/m: $P\geq \frac{3}{\sqrt{2}}\Leftrightarrow \sum \frac{x}{2x+y+z+4}\geq \frac{3}{8}$

Sử dụng Cauchy-Schwarz:

   $\sum \frac{x}{2x+y+z+4}\geq \frac{\left ( \sum x \right )^2}{2\sum x^2+2\sum xy+4\sum x}$

   $\frac{\left ( \sum x \right )^2}{2\sum x^2+2\sum xy+4\sum x}\geq \frac{3}{8}$

   $\Leftrightarrow 8\sum x^2+16\sum xy\geq 6\sum x^2+6\sum xy+12\sum x$

   $\Leftrightarrow \sum x^2+5\sum xy\geq 6\sum x$

Ta sẽ c/m : $\sum x^2+5\sum xy\geq 6\sum x$

Áp dụng Cauchy-Schwarz:

    $\sum x^2+5\sum xy=(x+y+z)^2+3(xy+yz+xz)\geq (x+y+z)^2+9\geq 6(x+y+z)$

Kết luận $P_{min}=\frac{3}{\sqrt{2}}$