Chủ đề này có 20 trả lời

[phatthemkem]

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO QUẢNG NGÃI

KỲ THI CHỌN ĐỘI TUYỂN THAM DỰ KỲ THI CHỌN HSG QUỐC GIA NĂM HỌC 2015-2016

Thời gian làm bài: 180 phút

 

Ngày thi thứ nhất: 07/10/2015.

 

Bài $1$ (5,0 điểm). 

Cho $a,b,c$ là các số thực dương. Chứng minh rằng:

$$\frac{3}{2a+b+\sqrt{8bc}}+\frac{3}{2}\geq \frac{8}{\sqrt{2b^2+2\left ( a+c \right )^2}+3}+\frac{1}{a+b+c}.$$

Bài $2$ (5,0 điểm).

Cho dãy số $\left ( u_n \right )$ được xác định bởi: $\left\{\begin{matrix} u_1=3\\ u_{n+1}=\dfrac{u_n^2+2012u_n+2}{2015} \end{matrix}\right.$  $\left ( n=1,2,3,... \right )$

Thành lập dãy $\left ( v_n \right )$ với $v_n=\sum_{i=1}^{n}\frac{u_i-1}{u_{i+1}-2}.$ Tìm $\lim_{n\rightarrow +\infty }v_n.$

Bài $3$ (5,0 điểm).

Người ta viết sẵn trên bảng đen $n$ số nguyên dương $1,2,...,n$ với $n \geq 2$ và cho thực hiện trò chơi như sau: Ở mỗi bước đi, người chơi được phép chọn tùy ý hai số đang có trên bảng, xóa chúng đi và viết vào đó một số bằng hai lần tổng của hai số vừa được xóa. Trò chơi kết thúc sau $n-1$ bước đi. Số duy nhất có mặt trên bảng sẽ là số viên kẹo mà người chơi được thưởng. Chứng minh rằng dù chơi thế nào người chơi cũng được thưởng nhiều hơn $\dfrac{4n^3}{9}$ viên kẹo.

Bài $4$ (5,0 điểm).

Trong mặt phẳng cho hai đường tròn $\left ( O_1 \right ),\left ( O_2 \right )$ có bán kính không bằng nhau và tiếp xúc ngoài với nhau tại $T.$ Kẻ $O_1A$ tiếp xúc với $\left ( O_2 \right )$ tại $A$, $O_2B$ tiếp xúc với $\left ( O_1 \right )$ tại $B$ sao cho $A,B$ nằm về cùng một phía với $O_1O_2.$ Lấy $H$ thuộc $O_1A$, $K$ thuộc $O_2B$ sao cho $BH$ và $AK$ cùng vuông góc với $O_1O_2$, $TH$ cắt $\left ( O_1 \right )$ tại $E$, $TK$ cắt $\left ( O_2 \right )$ tại $F$, $O_1A$ cắt $O_2B$ tại $I$, $EF$ cắt $AB$ tại $S.$

a) Chứng minh $IT$ là phân giác góc $O_1IO_2.$

b) Chứng minh ba đường thẳng $O_1A,O_2B$ và $TS$ đồng quy.

 

Ngày thi thứ hai: 08/10/2015.

 

Bài $5$ (7,0 điểm).

Tìm tất cả các hàm số $f$ xác định trên $\mathbb{N}$ và thỏa mãn đồng thời các điều kiện sau:

$2f(n)f(k+n)-2f(k-n)=3f(n)f(k),k\geq n$ và $f(1)=1.$

 

Bài $6$ (7,0 điểm).

1) Cho $11$ số nguyên dương $a_1,a_2,...,a_{11}.$ Chứng minh rằng luôn tồn tại các số $x_i\in \left \{ -1;0;1 \right \}\left ( i=1;2;...;11 \right )$ không đồng thời bằng $0$ sao cho $\sum_{i=1}^{11}x_ia_i$ chia hết cho $2047.$

2) Cho đa thức $P(x)$ với các hệ số nguyên, chia hết cho $3$ khi $x$ lấy các giá trị nguyên $k,k+1,k+2.$ Chứng minh rằng $P(m)$ chia hết cho $3, \forall m \in \mathbb{Z}.$

 

Bài $7$ (6,0 điểm).

Trên mặt phẳng cho điểm $I$ cố định và ba đường tròn $\left ( O_1;R_1 \right ),\left ( O_2;R_2 \right ),\left ( O_3;R_3 \right )$ cùng qua $I$; ngoài ra $A,B,C$ theo thứ tự là giao điểm thứ hai của $(O_2)$ và $(O_3)$, $(O_3)$ và $(O_1)$, $(O_1)$ và $(O_2)$. Biết rằng $I$ nằm trong tam giác $ABC$. Đường thẳng $d_1$ tiếp xúc với $(O_1),(O_2)$ lần lượt tại $M,N$ và không cắt $(O_3)$, đường thẳng $d_2$ tiếp xúc với $(O_2),(O_3)$ lần lượt tại $P,Q$ và không cắt $(O_1)$, đường thẳng $d_3$ tiếp xúc với $(O_3),(O_1)$ lần lượt tại $E,F$ và không cắt $(O_2)$. Giả sử các đường tròn $(O_1),(O_2)$ và $(O_3)$ thay đổi sao cho $R_1^2+R_2^2+R_3^2 \leq 3$. Hãy tính bán kính của các đường tròn $(O_1),(O_2)$ và $(O_3)$ và khoảng cách giữa các tâm các đường tròn đó sao cho tổng $S=S_{\triangle IMN}+S_{\triangle IPQ}+S_{\triangle IEF}$ lớn nhất.

[Longtunhientoan2k]

 

 

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO QUẢNG NGÃI

KỲ THI CHỌN ĐỘI TUYỂN THAM DỰ KỲ THI CHỌN HSG QUỐC GIA NĂM HỌC 2015-2016

Thời gian làm bài: 180 phút

 

Ngày thi thứ nhất: 07/10/2015.

 

Bài $1$ (5,0 điểm). 

Cho $a,b,c$ là các số thực dương. Chứng minh rằng:

$$\frac{3}{2a+b+\sqrt{8bc}}+\frac{3}{2}\geq \frac{8}{\sqrt{2b^2+2\left ( a+c \right )^2}+3}+\frac{1}{a+b+c}.$$

Bài $2$ (5,0 điểm).

Cho dãy số $\left ( u_n \right )$ được xác định bởi: $\left\{\begin{matrix} u_1=3\\ u_{n+1}=\dfrac{u_n^2+2012u_n+2}{2015} \end{matrix}\right.$  $\left ( n=1,2,3,... \right )$

Thành lập dãy $\left ( v_n \right )$ với $v_n=\sum_{i=1}^{n}\frac{u_i-1}{u_{i+1}-2}.$ Tìm $\lim_{n\rightarrow +\infty }v_n.$

Bài $3$ (5,0 điểm).

Người ta viết sẵn trên bảng đen $n$ số nguyên dương $1,2,...,n$ với $n \geq 2$ và cho thực hiện trò chơi như sau: Ở mỗi bước đi, người chơi được phép chọn tùy ý hai số đang có trên bảng, xóa chúng đi và viết vào đó một số bằng hai lần tổng của hai số vừa được xóa. Trò chơi kết thúc sau $n-1$ bước đi. Số duy nhất có mặt trên bảng sẽ là số viên kẹo mà người chơi được thưởng. Chứng minh rằng dù chơi thế nào người chơi cũng được thưởng nhiều hơn $\dfrac{4n^3}{9}$ viên kẹo.

Bài $4$ (5,0 điểm).

Trong mặt phẳng cho hai đường tròn $\left ( O_1 \right ),\left ( O_2 \right )$ có bán kính không bằng nhau và tiếp xúc ngoài với nhau tại $T.$ Kẻ $O_1A$ tiếp xúc với $\left ( O_2 \right )$ tại $A$, $O_2B$ tiếp xúc với $\left ( O_1 \right )$ tại $B$ sao cho $A,B$ nằm về cùng một phía với $O_1O_2.$ Lấy $H$ thuộc $O_1A$, $K$ thuộc $O_2B$ sao cho $BH$ và $AK$ cùng vuông góc với $O_1O_2$, $TH$ cắt $\left ( O_1 \right )$ tại $E$, $TK$ cắt $\left ( O_2 \right )$ tại $F$, $O_1A$ cắt $O_2B$ tại $I$, $EF$ cắt $AB$ tại $S.$

a) Chứng minh $IT$ là phân giác góc $O_1IO_2.$

b) Chứng minh ba đường thẳng $O_1A,O_2B$ và $TS$ đồng quy.

 

Ngày thi thứ hai: 08/10/2015.

 

Bài $5$ (7,0 điểm).

Tìm tất cả các hàm số $f$ xác định trên $\mathbb{N}$ và thỏa mãn đồng thời các điều kiện sau:

$2f(n)f(k+n)-2f(k-n)=3f(n)f(k),k\geq n$ và $f(1)=1.$

 

Bài $6$ (7,0 điểm).

1) Cho $11$ số nguyên dương $a_1,a_2,...,a_{11}.$ Chứng minh rằng luôn tồn tại các số $x_i\in \left \{ -1;0;1 \right \}\left ( i=1;2;...;11 \right )$ không đồng thời bằng $0$ sao cho $\sum_{i=1}^{11}x_ia_i$ chia hết cho $2047.$

2) Cho đa thức $P(x)$ với các hệ số nguyên, chia hết cho $3$ khi $x$ lấy các giá trị nguyên $k,k+1,k+2.$ Chứng minh rằng $P(m)$ chia hết cho $3, \forall m \in \mathbb{Z}.$

 

Bài $7$ (6,0 điểm).

Trên mặt phẳng cho điểm $I$ cố định và ba đường tròn $\left ( O_1;R_1 \right ),\left ( O_2;R_2 \right ),\left ( O_3;R_3 \right )$ cùng qua $I$; ngoài ra $A,B,C$ theo thứ tự là giao điểm thứ hai của $(O_2)$ và $(O_3)$, $(O_3)$ và $(O_1)$, $(O_1)$ và $(O_2)$. Biết rằng $I$ nằm trong tam giác $ABC$. Đường thẳng $d_1$ tiếp xúc với $(O_1),(O_2)$ lần lượt tại $M,N$ và không cắt $(O_3)$, đường thẳng $d_2$ tiếp xúc với $(O_2),(O_3)$ lần lượt tại $P,Q$ và không cắt $(O_1)$, đường thẳng $d_3$ tiếp xúc với $(O_3),(O_1)$ lần lượt tại $E,F$ và không cắt $(O_2)$. Giả sử các đường tròn $(O_1),(O_2)$ và $(O_3)$ thay đổi sao cho $R_1^2+R_2^2+R_3^2 \leq 3$. Hãy tính bán kính của các đường tròn $(O_1),(O_2)$ và $(O_3)$ và khoảng cách giữa các tâm các đường tròn đó sao cho tổng $S=S_{\triangle IMN}+S_{\triangle IPQ}+S_{\triangle IEF}$ lớn nhất.

 

 Bài 1,ngày thi thứ nhất:

     Ta có:

$VT=\frac{3}{2a+b+2\sqrt{2bc}}+\frac{3}{2}\geq \frac{3}{2(a+b+c)} +\frac{3}{2}  $

$VP=...\leq \frac{8}{a+b+c+3}+\frac{1}{a+b+c} $

\Từ đó ta cần chứng minh:$\frac{3}{2(a+b+c)}+\frac{3}{2}\geq \frac{8}{a+b+c+3}+\frac{1}{a+b+c}$

Đặt a+b+c=x.Từ đó ta cần chưng minh:$\frac{3}{2x}+\frac{3}{2}\geq \frac{8}{x+3}+\frac{1}{x}\Leftrightarrow 3(x-1)^{2}\geq 0$(luôn đúng,từ đó ta có ĐPCM)

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Longtunhientoan2k: 10-10-2015 - 20:57

[Longtunhientoan2k]

 Câu 6.2 ngày thi thứ hai:

CÓ $P(x+3j)\equiv P(x)(mod 3)\forall j\epsilon \mathbb{Z}\Rightarrow k,k+1,k+2(mod 3)$

Có thể có:k+3j,k+3j+1 và k+3j+2

Ta có:$

P(m)=P(k+i+3j)\equivP(k+j)\equiv0(mod 3)$ với $ie0,1,2$

[quochung262]

Bài 2: Dễ thấy u_n>0 với mọi số nguyên dương n

TBằng quy nạp ta chứng minh được u_n>3 với mọi $n\geq 2$

Từ đó suy ra u_n tăng. Giả sử u_n bị chặn trên, suy ra u_n có ghhh. Đặt limun=L

Chuyển qua gh, được L=1 hoặc L=2 (vô lý)

Do đó $limu_n=+\infty$

Dễ dàng c/m được $\frac{u_{i}-1}{u_{i+1}-2}=2015(\frac{1}{u_{i}-2}-\frac{1}{u_{i+1}-2})$ (chổ này biến đổi tương đương thôi)

Do đó: $v_n=\sum_{i=1}^{n}\frac{u_i-1}{u_{i+1}-2}=2015(\frac{1}{u_1-2}-\frac{1}{u_{n+1}-2})=2015-\frac{2015}{u_{n+2}-2}$

Suy ra limvn=2015

[Longtunhientoan2k]

Bài 2: Dễ thấy u_n>0 với mọi số nguyên dương n

TBằng quy nạp ta chứng minh được u_n>3 với mọi $n\geq 2$

Từ đó suy ra u_n tăng. Giả sử u_n bị chặn trên, suy ra u_n có ghhh. Đặt limun=L

Chuyển qua gh, được L=1 hoặc L=2 (vô lý)

Do đó $limu_n=+\infty$

Dễ dàng c/m được $\frac{u_{i}-1}{u_{i+1}-2}=2015(\frac{1}{u_{i}-2}-\frac{1}{u_{i+1}-2})$ (chổ này biến đổi tương đương thôi)

Do đó: $v_n=\sum_{i=1}^{n}\frac{u_i-1}{u_{i+1}-2}=2015(\frac{1}{u_1-2}-\frac{1}{u_{n+1}-2})=2015-\frac{2015}{u_{n+2}-2}$

Suy ra limvn=2015

 Anh j đó ơi lim là j anh em mới vào lớp 10 chưa bik khái niệm lim.Lim là j ạ

[quochung262]

Viết nhầm  

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi quochung262: 10-10-2015 - 22:15

[quochung262]

Câu hàm:

Thay n=k=0 vào pt, được f(0)=0

Thay n=1 vào pt ban đầu thu được: $2f(k+1)-2f(k-1)=3f(k)\Leftrightarrow 2f(k+1)-3f(k)-2f(k-1)=0$

Do hàm số xđ trên N. Đặt $f(k)=u_k$$,\forall k\in \mathbb{N}$

Ta có: $2u_{k+1}-3u_k-2u_{k-1}=0$

Phương trình đặt trưng: $2\lambda ^{2}-2\lambda -3=0\Leftrightarrow \lambda =\frac{1+\sqrt{7}}{2}\vee \lambda =\frac{1-\sqrt{7}}{2}$

Do đó $u_n=c_1(\frac{1+\sqrt{7}}{2})^{n}+c_2(\frac{1-\sqrt{7}}{2})^{n}$

Tới đây có u0, u1 rồi chịu khó thay vào, lười quá  

[Longtunhientoan2k]

Câu hàm:

Thay n=k=0 vào pt, được f(0)=0

Thay n=1 vào pt ban đầu thu được: $2f(k+1)-2f(k-1)=3f(k)\Leftrightarrow 2f(k+1)-3f(k)-2f(k-1)=0$

Do hàm số xđ trên N. Đặt $f(k)=u_k$$,\forall k\in \mathbb{N}$

Ta có: $2u_{k+1}-3u_k-2u_{k-1}=0$

Phương trình đặt trưng: $2\lambda ^{2}-2\lambda -3=0\Leftrightarrow \lambda =\frac{1+\sqrt{7}}{2}\vee \lambda =\frac{1-\sqrt{7}}{2}$

Do đó $u_n=c_1(\frac{1+\sqrt{7}}{2})^{n}+c_2(\frac{1-\sqrt{7}}{2})^{n}$

Tới đây có u0, u1 rồi chịu khó thay vào, lười quá  

Em đang làm bài này thì anh làm mất nha,ghét thế

[quochung262]

Em đang làm bài này thì anh làm mất nha,ghét thế

Xin lỗi chú em 

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi quochung262: 10-10-2015 - 21:37

[quochung262]

 Anh j đó ơi lim là j anh em mới vào lớp 10 chưa bik khái niệm lim.Lim là j ạ

Em chịu khó xem Sgk Đại số-GIải tích 11 giùm anh nhé 

[When]

Bài 2: Dễ thấy u_n>0 với mọi số nguyên dương n

TBằng quy nạp ta chứng minh được u_n>3 với mọi $n\geq 2$

Từ đó suy ra u_n tăng. Giả sử u_n bị chặn trên, suy ra u_n có ghhh. Đặt limun=L

Chuyển qua gh, được L=1 hoặc L=2 (vô lý)

Do đó $limu_n=+\infty$

Dễ dàng c/m được $\frac{u_{i}-1}{u_{i+1}-2}=2015(\frac{1}{u_{i}-2}-\frac{1}{u_{i+1}-2})$ (chổ này biến đổi tương đương thôi)

Do đó: $v_n=\sum_{i=1}^{n}\frac{u_i-1}{u_{i+1}-2}=2015(\frac{1}{u_1-2}-\frac{1}{u_{n+1}-2})=2015-\frac{2015}{u_{n+2}-2}$

Suy ra limvn=2015

Cái này dùng đồng nhất à ? Sao tìm được thế ?

[superpower]

Cái này dùng đồng nhất à ? Sao tìm được thế ?

Bạn biến đổi tí là ra. Nói chung biến đổi sao cho triệt tiêu là được. Đây là dạng cơ bản trong giới hạn

[quochung262]

Câu 6a:

Xét các tổng có m số hạng khác nhau được lập từ các số a_i (i=1,11) với $1\leq m\leq 11$

Với mỗi số m chạy từ 1 đến 11 thì số các tổng là $C_{11}^{m}$

=> tổng số các tổng như vậy là $\sum_{m=1}^{11}C_{11}^{m}=C_{11}^{1}+C_{11}^{2}+...+C_{11}^{11}=2^{11}=2048$

Suy ra trong 2048 tổng trên tồn tại ít nhất 2 tổng có cùng số dư khi chia cho 2047. Gọi hai tổng đó lần lượt là S₁ và S₂

TH1: Trong 2 tổng trên không có số hạng nào trùng nhau

Trong tổng $\sum_{i=1}^{11}x_ia_i$

Đặt x_i=1 với các số hạng của S₁

Đặt x_j=-1 với các số hạng của S₂

Đặt x_l=0 với các số hạng còn lại

TH2: Trong 2 tổng trên tồn tại các số hạng a_r trùng nhau

Trong tổng $\sum_{i=1}^{11}x_ia_i$

Đặt x_i=1 với các số hạng của S₁ khác các số a_r

Đặt x_j=-1 với các số hạng của S₂ khác các số a_r

Đặt x_l=0 với các số a_r và các số hạng còn lại

Từ đó ta luôn có $\sum_{i=1}^{11}x_ia_i$ chia hết cho 2047

=> đpcm

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi quochung262: 11-10-2015 - 11:26

[phatthemkem]

Câu hàm:

Thay n=k=0 vào pt, được f(0)=0

Thay n=1 vào pt ban đầu thu được: $2f(k+1)-2f(k-1)=3f(k)\Leftrightarrow 2f(k+1)-3f(k)-2f(k-1)=0$

Do hàm số xđ trên N. Đặt $f(k)=u_k$$,\forall k\in \mathbb{N}$

Ta có: $2u_{k+1}-3u_k-2u_{k-1}=0$

Phương trình đặt trưng: $2\lambda ^{2}-2\lambda -3=0\Leftrightarrow \lambda =\frac{1+\sqrt{7}}{2}\vee \lambda =\frac{1-\sqrt{7}}{2}$

Do đó $u_n=c_1(\frac{1+\sqrt{7}}{2})^{n}+c_2(\frac{1-\sqrt{7}}{2})^{n}$

Tới đây có u0, u1 rồi chịu khó thay vào, lười quá  

sai rồi, nhưng đúng hướng á

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi phatthemkem: 11-10-2015 - 18:03

[quochung262]

sai rồi, nhưng đúng hướng á

chổ nào bạn nhỉ, chỉ giúp mình với?

[phatthemkem]

chổ nào bạn nhỉ, chỉ giúp mình với?

 

 

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO QUẢNG NGÃI

KỲ THI CHỌN ĐỘI TUYỂN THAM DỰ KỲ THI CHỌN HSG QUỐC GIA NĂM HỌC 2015-2016

Thời gian làm bài: 180 phút

 

 

Ngày thi thứ hai: 08/10/2015.

 

Bài $5$ (7,0 điểm).

Tìm tất cả các hàm số $f$ xác định trên $\mathbb{N}$ và thỏa mãn đồng thời các điều kiện sau:

$2f(n)f(k+n)-2f(k-n)=3f(n)f(k),k\geq n$ và $f(1)=1.$

 

Cho $k=1,n=0$ ta được $f(0)=-2$

Cho $n=1$ thì $2f(k+1)-2f(k-1)-3f(k)=0\Rightarrow 2f(n+1)-2f(n-1)-3f(n)=0,\forall n\geq 1$

Xét dãy $(u_n)$ với $u_n=f(n)$, khi đó: $\left\{\begin{matrix} u_0=-2,u_1=1\\ 2u_{n+1}-3u_n-2u_{n-1}=0,n=1,2,3,... \end{matrix}\right.$ 

Đến đây quá dễ rồi.

[quochung262]

Cho $k=1,n=0$ ta được $f(0)=-2$

Cho $n=1$ thì $2f(k+1)-2f(k-1)-3f(k)=0\Rightarrow 2f(n+1)-2f(n-1)-3f(n)=0,\forall n\geq 1$

Xét dãy $(u_n)$ với $u_n=f(n)$, khi đó: $\left\{\begin{matrix} u_0=-2,u_1=1\\ 2u_{n+1}-3u_n-2u_{n-1}=0,n=1,2,3,... \end{matrix}\right.$ 

Đến đây quá dễ rồi.

ừ, mình làm ẩu quá tính ko chuẩn  

[superfrankie98]

 Anh j đó ơi lim là j anh em mới vào lớp 10 chưa bik khái niệm lim.Lim là j ạ

là giới hạn đó bạn cái này trên trường kì 2 lớp 11 mới học

[Longtunhientoan2k]

 Em mới vào lớp 10 anh ạ.hì

[phatthemkem]

Sao chưa ai giải mấy bài hình nhỉ.