Chủ đề này có 2 trả lời

[thanhdat3001]

Bài 1: a) Cho hai số thực a,b toả mãn 18a + 4b ≥ 2013 . Chứng minh rằng phương trình sau luôn có nghiệm: 18ax² + 4bx + 671 - 9a = 0

b) Chứng minh rằng không có số nguyên x, y nào thoã mản hệ thức: 2008x²⁰⁰⁹ + 2009y²⁰¹⁰ = 2011

 

Bài 2: Tìm các số thực x, y thoả mãn: ( x² + 1 )²y² +16x² + $\sqrt{x² - 2x - y³ + 9}$ = 8x³y + 8xy

 

Bài 3: Cho 1003 số hữu tỉ khác 0 trong đó 4 số bất kì nào trong chúng cũng có thể lập thành một tỉ lệ thức. Chứng minh rằng trong các số đã cho có ít nhất 1000 số bằng nhau

 

Bài 4: Cho tam giác nhọn ABC có O là trực tâm. Chứng minh rằng nếu đường tròn nội tiếp tam giác OAB và đường tròn nội tiếp tam giác OAC bằng nhau thì tam giác ABC là tam giác cân 

 

Bài 5: Cho tam giác BAC có góc A tù., nội tiếp đường trỏn (O;R). Gọi x, y, z lần lượt là khoảng cách từ O đến BC, CA, AB và r là bán kính đường tròn nội tiếp tam giác BAC. Chứng minh rằng: x+y+z = R+r

 

 

 

[anhtukhon1]

Bài 1: a) Cho hai số thực a,b toả mãn 18a + 4b ≥ 2013 . Chứng minh rằng phương trình sau luôn có nghiệm: 18ax² + 4bx + 671 - 9a = 0

b) Chứng minh rằng không có số nguyên x, y nào thoã mản hệ thức: 2008x²⁰⁰⁹ + 2009y²⁰¹⁰ = 2011

Xét cả 2 số đều chắn thấy vô lý vì vp lẻ vt chẵn

Xét x lẻ y chẵn thì vp lẻ vt chẵn

Xét cả 2 cùng lẻ, ta có 2008 chia hết cho 8; 2011 chia 8 dư 3 suy ra $2009y^{2010}$ chia cho 8 dư 3 mà 1 số lẻ mũ 4 chia 8 dư 1. Nên mũ 2010 cũng chia 8 dư 1 mà 2009 chia 8 dư 1 suy ra $2009y^{2010}$ chia 8 dư 1.

Xét x chẵn y lẻ thì cũng tương tự nhé

[huy2403exo]

 

Bài 3: Cho 1003 số hữu tỉ khác 0 trong đó 4 số bất kì nào trong chúng cũng có thể lập thành một tỉ lệ thức. Chứng minh rằng trong các số đã cho có ít nhất 1000 số bằng nhau

 

 

Lấy 3 số a,b,c trong 1003 số đã cho. Do 4 số bất kì nào trong chúng cũng có thể lập thành một tỉ lệ thức nên trong 1000 số còn lại chỉ nhận một trong ba giá trị: $\frac{ab}{c};\frac{bc}{a};\frac{ac}{b}$
Vì 1000: 3 được 333 dư 1 nên theo nguyên lý Dirichle có ít nhất 334 số bằng nhau, lấy ba số x;y;z trong các số bằng nhau này ta có x = y = z, kết hợp với một số bất kì trong 1000 số đó cũng lập thành một tỉ lệ thức nên số đó cũng bằng ba số x;y;z đã chọn nên 1000 số này bằng nhau cùng bằng x=y=z .Vậy có ít nhất 1000 số bằng nhau.