Đến nội dung

Hình ảnh

Chứng minh $P(x^{2})$ bất khả quy trên $\mathbb{Z}$

- - - - -

  • Please log in to reply
Chủ đề này có 3 trả lời

#1
halloffame

halloffame

    Thiếu úy

  • Điều hành viên OLYMPIC
  • 522 Bài viết
Cho $P(x) \in \mathbb{Z}[x]$ là đa thức đơn khởi (có hệ số cao nhất là $1$ ) và bất khả quy trên $\mathbb{Z}$ sao cho $|P(0)|$ không là số chính phương. Chứng minh $P(x^{2})$ bất khả quy trên $\mathbb{Z}.$

Sự học như con thuyền ngược dòng nước, không tiến ắt phải lùi.


#2
huytruong

huytruong

    Lính mới

  • Thành viên
  • 9 Bài viết

Cho $P(x) \in \mathbb{Z}[x]$ là đa thức đơn khởi (có hệ số cao nhất là $1$ ) và bất khả quy trên $\mathbb{Z}$ sao cho $|P(0)|$ không là số chính phương. Chứng minh $P(x^{2})$ bất khả quy trên $\mathbb{Z}.$

giả sử $\mathcal{P}(x^2)$ khả quy tức $\mathcal{P}(x^2)=\mathcal{A}(x)\mathcal{B}(x)$ với $\mathcal{A}(x),\mathcal{B}(x)\in \mathbb{Z}\left [ x \right ]$

ta có

$\mathcal{P}(x^2)=\mathcal{A}(x)\mathcal{B}(x)\Rightarrow \mathcal{P}(x^2)=\mathcal{A}(-x)\mathcal{B}(-x)$

$\Rightarrow \left ( \mathcal{P}(x^2) \right )^2=\mathcal{A}(x)\mathcal{A}(-x).\mathcal{B}(x)\mathcal{B}(-x)$ 

$\Rightarrow \exists \mathcal{G},\mathcal{H:}\left\{\begin{matrix} \mathcal{G}(x^2)=\mathcal{A}(x)\mathcal{A}(-x)\\ \mathcal{H}(x^2)=\mathcal{B}(x)\mathcal{B}(-x) \end{matrix}\right.$

$\Rightarrow \left ( \mathcal{P}(x^2) \right )^2=\mathcal{G}(x^2)\mathcal{H}(x^2)\ \ ,\forall x\Rightarrow \left ( \mathcal{P}(x) \right )^2=\mathcal{G}(x)\mathcal{H}(x)$

vì đa thức $\mathcal{P}(x)$ bất khả quy nên có các trường hợp sau 

$\bullet\ \mathcal{P}(x^2)=\mathcal{G}(x)=\mathcal{H}(x)\Rightarrow \left | \mathcal{P}(0) \right |=\left ( \mathcal{G}(0) \right )^2\ (\text{mâu thuẫn})$

$\bullet\ \mathcal{P}(x^2)=-\mathcal{G}(x)=-\mathcal{H}(x)\Rightarrow \left | \mathcal{P}(0) \right |=\left ( \mathcal{G}(0) \right )^2\ (\text{mâu thuẫn})$

Spoiler



#3
halloffame

halloffame

    Thiếu úy

  • Điều hành viên OLYMPIC
  • 522 Bài viết
Vì sao lại tồn tại đa thức G,H như vậy, bạn có thể giải thích thêm được không?

Sự học như con thuyền ngược dòng nước, không tiến ắt phải lùi.


#4
huytruong

huytruong

    Lính mới

  • Thành viên
  • 9 Bài viết

Vì sao lại tồn tại đa thức G,H như vậy, bạn có thể giải thích thêm được không?

vì hàm $\mathcal{A}(x)\mathcal{A}(-x)$ chẵn nên tồn tại $\mathcal{G}$ như trên






1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh