Chủ đề này có 7 trả lời

[Laxus]

1. Cm $\overline{abc}$ là số nguyên tố thì phương trình ax²+bx+c=0 không có nghiệm hữu tỉ

2. Tìm các số nguyên tố có 4 chữ số $\overline{abcd}$ sao cho $\overline{ab}$ , $\overline{ac}$ là các số nguyên tố và b²=$\overline{cd}$+b-c

3. Cho 2^m-1 là số nguyên tố. Cm m là số nguyên tố 

4. Cm định lí Fermat nhỏ

[NPTV1207]

2, $\overline{ab}; \overline{ac}$ là số nguyên tố nên b,c lẻ và b,c khác 5

$b^{2}=\overline{cd}+b-c=9c+b+d$

$\Rightarrow b^{2}> 9\Rightarrow$ b=7 hoặc 9

Nếu b=7$\Rightarrow 42=9c+d\Rightarrow 33\leq 9c\leq 42$

             $\Rightarrow$ Loại vì c lẻ

Nếu b=9$\Rightarrow 72=9c+d\Rightarrow 63\leq 9c\leq 72\Rightarrow c=7; d=9$

   Thử lại: đúng $\Rightarrow \overline{abcd}=1979$

[NPTV1207]

3, $2^{m-1}$ là số nguyên tố$\Rightarrow m-1=1\Rightarrow m=2$ (là số nguyên tố)

 

    Mình nghĩ có thể đề là  cho: $2^{m}-1$ là số nguyên tố, nếu đề như của bạn thì dễ quá!!!

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi NPTV1207: 15-11-2015 - 10:41

[Laxus]

3, $2^{m-1}$ là số nguyên tố$\Rightarrow m-1=1\Rightarrow m=2$ (là số nguyên tố)

 

    Mình nghĩ có thể đề là  cho: $2^{m}-1$ là số nguyên tố, nếu đề như của bạn thì dễ quá!!!

Vậy m-1$\neq$1 thì sao

[OiDzOiOi]

Bài 1: Giả sử ax²+bx+c có nghiệm hữu tỷ

Khi đó: $\Delta =b^{2}-4ac$ là số chính phương 

Đặt $b^{2}-4ac=k^{2}$, với $k\in N\Rightarrow b>k$

Ta có : $4a.\bar{abc}=400a^{2}+40ab+4ac=(20a+b)^{2}-(b^{2}-4ac)=(20a+b)^{2}-(b^{2}+k^{2}-b^{2})=(20a+b+k)(20a+b-k)$

Do đó: $(20a+b+k)(20a+b-k)\vdots \bar{abc}\Rightarrow 20a+b+k\vdots \bar{abc}$ or $20a+b-k\vdots \bar{abc}$ (1)

Mà $\bar{abc}=100a+10b+c>20a+2b>20a+b+k>20a+b-k$ (Vì b>k)

Do đó (1) vô lý =>b²-4ac không chính phương => ax²+bx+c không có nghiệm hữu tỷ

[minhrongcon2000]

Vậy m-1$\neq$1 thì sao

Giả sử m-1>1 hay m>2 thì rõ ràng $2^{m-1}\vdots 4$. Do đó m không thể lớn hơn 2

[OiDzOiOi]

Vậy m-1$\neq$1 thì sao

m-1 luôn bằng 1 vì 2^m-1 nguyên tố thì 2^m-1=2.Mà bài nay không phải thế đâu, đề sai rồi, 2^m-1.

Giải luôn.

Giả sử m hợp số $\Leftrightarrow m=pq$ , $p,q\in N$ và p,q>1

Ta có: $2^{m}-1=(2^{p})^{q}-1=(2^{p}-1)((2^{p})^{q-1}+(2^{p})^{q-2}+...+1)$

Vì p>1=>2^p-1>1

Và (2^p)^q-1+(2^p)^q-2+...+1>1

Suy ra 2^m-1 là hợp số, mâu thuẫn giả thiết => m không là hợp số

Khi m=1=> 2^m-1=1 không nguyên tố => m khác 1

Do đó m nguyên tố

[OiDzOiOi]

Chứng minh định lý Fermat nhỏ: $a^{p-1}-1\vdots p$ Với (a;p)=1 và p nguyên tố

Xét dãy gồm (p-1)bội số đầu tiên của a:

              a, 2a , 3a,... ,  (p-1)a

Ta có:            a=B(p)+r₁

                      2a=B(p)+r₂

                      3a=B(p)+r₃

               .........

                     (p-1)a=B(p)+r_p-1

Trong đó r₁,r₂,r₃,..,r_p-1 theo thứ tự nào đó là (p-1) số tự nhiên đầu tiên 

                   r₁.r₂.r₃....r_p-1=(p-1)!

Suy ra:   a^p-1.(p-1)!=B(p)+(p-1)!

Hay (a^p-1-1).(p-1)! chia hết p 

Vì p nguyên tố , (p-1)! và p nguyên tố cùng nhau 

Vaayh a^p-1-1 chia hết p