Chủ đề này có 2 trả lời

[toanc2tb]

Tìm tất cả các hàm số $f: \mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$ thỏa mãn:

$f(f(x)-f(y))=f(f(x))-2x^2f(y)+f(y^2)$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi toanc2tb: 15-11-2015 - 07:26

[Zaraki]

Tìm tất cả các hàm số $f: \mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$ thỏa mãn:

\begin{equation} \label{1} f(f(x)-f(y))=f(f(x))-2x^2f(y)+f(y^2) \end{equation}

Lời giải. Giả sử $P(x,y)$ là tính chất của $\eqref{1}$. 

$P(0,0) \Rightarrow f(f(0))=0$.

$P(0,y) \Rightarrow f(f(0)-f(y))=f(y^2). \qquad (2)$

$P(x,x) \Rightarrow f(0)= f(f(x))-2x^2f(x)+f(x^2). \qquad (3)$

 

Nếu $f(x) \equiv 0$ thì thoả mãn.

Nếu $f(x) \not\equiv 0$, tức tồn tại $k \in \mathbb{R}$ thoả $f(k)=0$.

Khi đó $P(x,k)= f(f(x)-f(k))=f(f(x))-2x^2f(k)+f(k^2). \qquad (4)$

 

Nếu tồn tại $x_1,x_2 \in \mathbb{R}$ thoả mãn $f(x_1)=f(x_2)$ thì ta suy ra $f(f(x_1)-f(k))=f(f(x_2)-f(k))$ và $f(f(x_1))=f(f(x_2))$. Do đó từ $(4)$ ta suy ra $2x_1^2f(k)=2x_2^2f(k)$ suy ra $x_1=x_2$ hoặc $x_1=-x_2$.

 

Từ điều trên kết hợp với $(2)$ ta suy ra $f(y)=y^2+f(0)$ hoặc $f(y)=f(0)-y^2$.

 

Nếu $f(y)=y^2+f(0) \; \forall y$ thì từ $(3)$ ta dễ suy ra $f(0)=0$ hay $f(y)=y^2 \; \forall y$.

Nếu $f(y)=f(0)-y^2 \; \forall y$ thì từ $(3)$ ta suy ra $f(0)=0$ dẫn đến $f(y)=-y^2 \; \forall y$.

Nếu $f(y)=y^2+f(0)$ cho một số $y$ nào đó và $f(y)=f(0)-y^2$ cho một số $y$ nào đó. Mình vẫn chưa tìm được cách để xử đẹp trường hợp này, mong anh em cho ý kiến.

[superpower]

Tìm tất cả các hàm số $f: \mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$ thỏa mãn:

$f(f(x)-f(y))=f(f(x))-2x^2f(y)+f(y^2)$

$f(x)=0$ thõa yêu cầu bài toán

Giả sử tồn tại $f(x)$ không đồng nhất 0=> Tồn tại $a$: $f(u)$ khác 0

Giả sử tồn tại a,b sao cho $f(a)=f(b)$ 

Khi đó thay x lần lượt bởi a và b; y bởi u, ta được 

$a^2=b^2$

Trong phương trình đầu thay y bởi x ta được

$f(0)=f(f(x))- 2x^2f(x)+ f(x^2)$

Thay x bởi 0, ta được

$f(0)=f(f(0)) +f(0) => f(f(0))=0$  

Do đó trong phương trình đầu, thay x bởi 0, ta được

$f(f(0)-f(y))=f(y^2)$

Suy ra $ (f(0)-f(y))^2 = y^4 $

Tới đây dễ rồi, Tính được $f(y)$