Tìm số nguyên dương n nhỏ nhất để $2013^{n}-1$ chia hết cho $2^{2014}$
Tìm số nguyên dương n nhỏ nhất để $2013^{n}-1$ chia hết cho $2^{2014}$
#1
Đã gửi 21-11-2015 - 20:00
#2
Đã gửi 21-11-2015 - 21:20
Tìm số nguyên dương n nhỏ nhất để $2013^{n}-1$ chia hết cho $2^{2014}$
Do $2013-1\vdots 4$ nên áp dụng bổ đề LTE
$$v_{2}(2013^n-1)=v_{2}(2013-1)+v_{2}(n)$$
Do đó để $2013^n-1\vdots 2014$ thì $v_{2}(n)\geq 2012$ nên $n\geq 2^{2012}$
- issacband365 và Minhnguyenthe333 thích
#3
Đã gửi 22-11-2015 - 04:17
Bổ đề LTE cho $p=2$ có hơi khác một chút:
$$v_2(2013^n-1) =v_2(2013^2-1)+v_2(n)-1.$$
Discovery is a child’s privilege. I mean the small child, the child who is not afraid to be wrong, to look silly, to not be serious, and to act differently from everyone else. He is also not afraid that the things he is interested in are in bad taste or turn out to be different from his expectations, from what they should be, or rather he is not afraid of what they actually are. He ignores the silent and flawless consensus that is part of the air we breathe – the consensus of all the people who are, or are reputed to be, reasonable.
Grothendieck, Récoltes et Semailles (“Crops and Seeds”).
#4
Đã gửi 22-11-2015 - 06:17
Bổ đề LTE cho $p=2$ có hơi khác một chút:
$$v_2(2013^n-1) =v_2(2013^2-1)+v_2(n)-1.$$
em tưởng là với $n$ chẵn thì mới dùng cái này
"God made the integers, all else is the work of man."
Leopold Kronecker
#5
Đã gửi 22-11-2015 - 07:15
em tưởng là với $n$ chẵn thì mới dùng cái này
Đúng, $n$ chẵn thì mới dùng được.
Nếu $n$ lẻ thì sẽ không tìm được $n$ thoả mãn $2^{2014} \mid 2013^n-1$. Do đó $n$ chẵn. Từ đây áp dụng bổ đề LTE $$v_2(2013^n-1)=v_2(2013^2-1)+v_2(n)-1.$$
Discovery is a child’s privilege. I mean the small child, the child who is not afraid to be wrong, to look silly, to not be serious, and to act differently from everyone else. He is also not afraid that the things he is interested in are in bad taste or turn out to be different from his expectations, from what they should be, or rather he is not afraid of what they actually are. He ignores the silent and flawless consensus that is part of the air we breathe – the consensus of all the people who are, or are reputed to be, reasonable.
Grothendieck, Récoltes et Semailles (“Crops and Seeds”).
1 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh