Chủ đề này có 5 trả lời

[nthkhnimqt]

Có tồn tại hàm trơn $g$ xác định trên ${\mathbb{R}^2} \setminus \left\{ {\left( {0,0} \right)} \right\}$ sao cho

\[\mathrm{grad} g = \left( { - \frac{y}{{{x^2} + {y^2}}},\frac{x}{{{x^2} + {y^2}}}} \right)\]

[An Infinitesimal]

Có tồn tại hàm trơn $g$ xác định trên ${\mathbb{R}^2} \setminus \left\{ {\left( {0,0} \right)} \right\}$ sao cho

\[\mathrm{grad} g = \left( { - \frac{y}{{{x^2} + {y^2}}},\frac{x}{{{x^2} + {y^2}}}} \right)\]

 

 

Xét trên miền $\Omega= \{(x,y)\in \mathbb{R^2}: x, y>0\}\subset {\mathbb{R}^2} \setminus \left\{ {\left( {0,0} \right)} \right\}$.

Lấy  $(x,y)\in .\Omega$.

 

 

Vì $g_x= - \frac{y}{{x^2} + {y^2}}$  nên $g(x,y)= \arctan\frac{x}{y}+h(y)$ với $h$ là hàm khả vi.

 

Hơn nữa, $g_y=\frac{x}{{{x^2} + {y^2}}} $, suy ra $h'(y)= \frac{2x}{x^2+y^2}$ (phụ thuộc vào $x$!!) vô lý!

[nthkhnimqt]

Bạn ơi chỗ $g(x,y)=\arctan(\frac{x}{y})$ hình như bạn lấy nguyên hàm bị sai 

[An Infinitesimal]

Bạn ơi chỗ $g(x,y)=\arctan(\frac{x}{y})$ hình như bạn lấy nguyên hàm bị sai 

Vậy bạn nghĩ kết quả đúng là gì?

[nthkhnimqt]

Phải là $-\arctan \frac{x}{y}$

[An Infinitesimal]

Phải là $-\arctan \frac{x}{y}$

Xin lỗi! Mình đã tính toán nhầm! Đây là một "bài toán" kinh điển.

Bạn đã học về kết quả, nếu tồn tài hàm trơn g sao cho $g_x= f_1, f_y= f_2$  thì 

$\int_{ \gamma}f_1dx+f_2dy=0$ với bất kỳ đường cong đóng $\gamma$ chưa?

Một cách chính xác, ngắn gọn hơn $\int_{r}\triangledown g. dr= 0.$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi vanchanh123: 26-11-2015 - 14:43