Chủ đề này có 6 trả lời

[QuaKhu263]

$a^{n} + n$ chia hết $b^{n} + n$ với mọi n nguyên dương. Chứng minh rằng a = b

[QuaKhu263]

Ai giúp với :3 

[congdan9aqxk]

Bài này áp dụng định lý phần dư trung hoa.

GS $b\neq a$. Cho n=1 ta có $b+1\vdots a+1\Rightarrow b>a$.

Xét p là số nguyên tố (p>b)

Theo định lý phần dư trung hoa tồn tại n sao cho:$\left\{\begin{matrix} n\equiv 1 (mod p-1) & \\ n\equiv -a(modp) & \end{matrix}\right.$

nên n=k(p-1)+1=tp-a.

Theo định lý fecma nhỏ. ta có:

$a^{n}=a.a^{k(p-1)}\equiv a(modp)\Rightarrow a^{n}+n\equiv a+n\equiv 0(modp)\Rightarrow a^{n}+n\vdots p$

$b^{n}=b.b^{k(p-1)}\equiv b(modp)\Rightarrow b^{n}+n\equiv b+n\equiv b-a$ (mod p)

$\Rightarrow b-a\vdots p\Rightarrow b-a\geq p$ (vô lí)

Vậy a=b

[Zaraki]

Mình nghĩ lời giải của bạn không đúng. Từ $p \mid a^n+n$ không thể suy ra $p \mid b^n+n$ dù có $b^n+n \mid a^n+n$. Cũng dựa vào ý tưởng của bạn, mình xin đề xuất lời giải của mình:

 

Lời giải. Xét $p$ là một số nguyên tố bất kì. Theo định lý thặng dư Trung Hoa, luôn tồn tại $n$ sao cho $\begin{cases} n \equiv 1 \pmod{p-1} \\ n \equiv -b \pmod{p} \end{cases}$.

Khi đó theo định lý Fermat nhỏ thì $b^n \equiv b \pmod{p}$ suy ra $b^n+n \equiv 0 \pmod{p}$ suy ra $a^n +n \equiv 0 \pmod{p}$. Do $a^n \equiv n \pmod{p}$ (vì $n \equiv 1 \pmod{p-1}$) nên $p \mid a+n$ hay $n \equiv -a \pmod{p}$ hay $p \mid a-b$.

 

Do việc xét số nguyên tố $p$ trên là bất kì nên do đó, ta vừa chứng minh tồn tại vô hạn số nguyên tố $p$ thoả $p \mid a-b$. Điều này chỉ xảy ra khi $a=b$.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Zaraki: 26-11-2015 - 03:58

[QuaKhu263]

Mình nghĩ lời giải của bạn không đúng. Từ $p \mid a^n+n$ không thể suy ra $p \mid b^n+n$ dù có $b^n+n \mid a^n+n$. Cũng dựa vào ý tưởng của bạn, mình xin đề xuất lời giải của mình:

 

Lời giải. Xét $p$ là một số nguyên tố bất kì. Theo định lý thặng dư Trung Hoa, luôn tồn tại $n$ sao cho $\begin{cases} n \equiv 1 \pmod{p-1} \\ n \equiv -b \pmod{p} \end{cases}$.

Khi đó theo định lý Fermat nhỏ thì $b^n \equiv b \pmod{p}$ suy ra $b^n+n \equiv 0 \pmod{p}$ suy ra $a^n +n \equiv 0 \pmod{p}$. Do $a^n \equiv n \pmod{p}$ (vì $n \equiv 1 \pmod{p-1}$) nên $p \mid a+n$ hay $n \equiv -a \pmod{p}$ hay $p \mid a-b$.

 

Do việc xét số nguyên tố $p$ trên là bất kì nên do đó, ta vừa chứng minh tồn tại vô hạn số nguyên tố $p$ thoả $p \mid a-b$. Điều này chỉ xảy ra khi $a=b$.

bạn hiểu nhầm đề bài của mình rồi. ý mình là $a^{n} + n \mid b^{n} + n$ nên lời giải hai bạn là một.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi QuaKhu263: 26-11-2015 - 08:37

[Zaraki]

bạn hiểu nhầm đề bài của mình rồi. ý mình là $a^{n} + n \mid b^{n} + n$ nên lời giải hai bạn là một.

Ý bạn $a^n+n \mid b^n+n$ nghĩa là $b^n+n$ chia hết cho $a^n+n$ ? Sao mình đọc ở trên bạn lại viết $a^n+n$ chia hết cho $b^n+n$ ?

[QuaKhu263]

Ý bạn $a^n+n \mid b^n+n$ nghĩa là $b^n+n$ chia hết cho $a^n+n$ ? Sao mình đọc ở trên bạn lại viết $a^n+n$ chia hết cho $b^n+n$ ?

Mình ghi là chia hết mà chứ có ghi chia hết cho đâu