Tìm nghiệm nguyên của PT: $\frac{xy}{z}+\frac{xz}{y}+\frac{yz}{x}=3$
$\frac{xy}{z}+\frac{xz}{y}+\frac{yz}{x}=3$
#1
Đã gửi 22-11-2015 - 20:43
- hoangson2598 và bovuotdaiduong thích
$\color{red}{\mathrm{\text{How I wish I could recollect, of circle roud}}}$
$\color{red}{\mathrm{\text{The exact relation Archimede unwound ! }}}$
#2
Đã gửi 22-11-2015 - 20:51
Tìm nghiệm nguyên của PT: $\frac{xy}{z}+\frac{xz}{y}+\frac{yz}{x}=3$
Có cho x, y, z >0 để áp dụng bđt không?
Thằng đần nào cũng có thể biết. Vấn đề là phải hiểu.
Albert Einstein
My Facebook: https://www.facebook...100009463246438
#3
Đã gửi 22-11-2015 - 20:56
Đề không cho bạn ạ!
$\color{red}{\mathrm{\text{How I wish I could recollect, of circle roud}}}$
$\color{red}{\mathrm{\text{The exact relation Archimede unwound ! }}}$
#4
Đã gửi 22-11-2015 - 23:38
Tìm nghiệm nguyên của PT: $\frac{xy}{z}+\frac{xz}{y}+\frac{yz}{x}=3$
Ta có $VT=xyz[\frac{1}{z^{2}}+\frac{1}{y^{2}}+\frac{1}{x^{2}}]=3$
$\rightarrow xyz>0$
Áp dụng bđt Cauchy cho 3 số dương ta có
$3=\frac{xyz}{z^{2}}+\frac{xyz}{y^{2}}+\frac{xyz}{x^{2}} \geq 3\sqrt[3]{xyz}$
$\rightarrow 1 \geq \sqrt[3]{xyz}$
$\rightarrow 1 \geq xyz$
$\rightarrow 0 < xyz \leq 1$
$x,y,z$ nguyên nên $xyz=1$
Mà $xyz=1$ $\rightarrow \frac{xy}{z}+\frac{yz}{x}+\frac{xz}{y} \geq 3 \sqrt[3]{xyz}=3$
Dấu '=' xảy ra khi $x^{2}=y^{2}=z^{2} \leftrightarrow |x|=|y|=|z|$
Từ đó tìm ra 4 nghiệm là $(x,y,z)=(1,1,1);(1,-1,-1);(-1,1,-1);(-1,-1,1)$
- tpdtthltvp, bovuotdaiduong và tquangmh thích
#5
Đã gửi 29-11-2015 - 07:38
Ta có $VT=xyz[\frac{1}{z^{2}}+\frac{1}{y^{2}}+\frac{1}{x^{2}}]=3$
$\rightarrow xyz>0$
Áp dụng bđt Cauchy cho 3 số dương ta có
$3=\frac{xyz}{z^{2}}+\frac{xyz}{y^{2}}+\frac{xyz}{x^{2}} \geq 3\sqrt[3]{xyz}$
$\rightarrow 1 \geq \sqrt[3]{xyz}$
$\rightarrow 1 \geq xyz$
$\rightarrow 0 < xyz \leq 1$
$x,y,z$ nguyên nên $xyz=1$
Mà $xyz=1$ $\rightarrow \frac{xy}{z}+\frac{yz}{x}+\frac{xz}{y} \geq 3 \sqrt[3]{xyz}=3$
Dấu '=' xảy ra khi $x^{2}=y^{2}=z^{2} \leftrightarrow |x|=|y|=|z|$
Từ đó tìm ra 4 nghiệm là $(x,y,z)=(1,1,1);(1,-1,-1);(-1,1,-1);(-1,-1,1)$
Bạn ơi tại sao khi chứng minh được $xyz > 0$ rồi tức là $\frac{xy}{z}\ > 0$ ta lại không lấy luôn pt ở đề bài mà lại lấy pt dòng thứ 4 để rồi phải áp dụng Cauchy thêm 1 lần nữa?
"There's always gonna be another mountain..."
#6
Đã gửi 29-11-2015 - 09:58
Bạn ơi tại sao khi chứng minh được $xyz > 0$ rồi tức là $\frac{xy}{z}\ > 0$ ta lại không lấy luôn pt ở đề bài mà lại lấy pt dòng thứ 4 để rồi phải áp dụng Cauchy thêm 1 lần nữa?
À,Mình ghi thế để cho rõ rằng mỗi số hạng đều dương thôi mà
Được gắn nhãn với một hoặc nhiều trong số những từ khóa sau: pt nghiệm nguyên
Toán Trung học Cơ sở →
Số học →
tìm các số nguyên x, y thỏa mãn: $y^{2}+2xy-7x-12=0$Bắt đầu bởi ILoveMath4864, 05-09-2016 pt nghiệm nguyên |
|
|||
Toán thi Học sinh giỏi và Olympic →
Số học →
Chứng minh $x(x+1)=p^{2n}(y+1)$ vô nghiệmBắt đầu bởi Cantho2015, 19-06-2016 pt nghiệm nguyên, vô nghiệm và . |
|
|||
|
Toán Trung học Cơ sở →
Số học →
số họcBắt đầu bởi Tuan Duong, 25-03-2016 pt nghiệm nguyên |
|
||
Toán Trung học Cơ sở →
Số học →
Tìm các số tự nhiên m,n thoả mãn: $\overline{mn}^3+m^2+n^2+mn=2015$Bắt đầu bởi dangkhuong, 10-08-2015 pt nghiệm nguyên |
|
|||
Toán thi Học sinh giỏi và Olympic →
Số học →
Giải PT nghiệm nguyên: $x^7+x^2+1=y^3$Bắt đầu bởi dangkhuong, 10-08-2015 pt nghiệm nguyên, khó |
|
0 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh