Đến nội dung

Hình ảnh

$\frac{xy}{z}+\frac{xz}{y}+\frac{yz}{x}=3$

pt nghiệm nguyên

  • Please log in to reply
Chủ đề này có 5 trả lời

#1
tpdtthltvp

tpdtthltvp

    Trung úy

  • Điều hành viên THCS
  • 831 Bài viết

Tìm nghiệm nguyên của PT: $\frac{xy}{z}+\frac{xz}{y}+\frac{yz}{x}=3$


$\color{red}{\mathrm{\text{How I wish I could recollect, of circle roud}}}$

$\color{red}{\mathrm{\text{The exact relation Archimede unwound ! }}}$

 


#2
hoangson2598

hoangson2598

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 325 Bài viết

Tìm nghiệm nguyên của PT: $\frac{xy}{z}+\frac{xz}{y}+\frac{yz}{x}=3$

Có cho x, y, z >0 để áp dụng bđt không?


                  :like  :like  :like  :like  :like  Thằng đần nào cũng có thể biết. Vấn đề là phải hiểu.    :like  :like  :like  :like  :like 

                                                                    

                                                                       Albert Einstein

 

                                        :icon6: My Facebookhttps://www.facebook...100009463246438  :icon6:


#3
tpdtthltvp

tpdtthltvp

    Trung úy

  • Điều hành viên THCS
  • 831 Bài viết

Đề không cho bạn ạ!


$\color{red}{\mathrm{\text{How I wish I could recollect, of circle roud}}}$

$\color{red}{\mathrm{\text{The exact relation Archimede unwound ! }}}$

 


#4
royal1534

royal1534

    Trung úy

  • Điều hành viên THCS
  • 773 Bài viết

Tìm nghiệm nguyên của PT: $\frac{xy}{z}+\frac{xz}{y}+\frac{yz}{x}=3$

Ta có $VT=xyz[\frac{1}{z^{2}}+\frac{1}{y^{2}}+\frac{1}{x^{2}}]=3$ 

$\rightarrow xyz>0$

Áp dụng bđt Cauchy cho 3 số dương ta có 

$3=\frac{xyz}{z^{2}}+\frac{xyz}{y^{2}}+\frac{xyz}{x^{2}} \geq 3\sqrt[3]{xyz}$

$\rightarrow 1 \geq \sqrt[3]{xyz}$ 

$\rightarrow 1 \geq xyz$ 

$\rightarrow 0 < xyz \leq 1$ 

$x,y,z$ nguyên nên $xyz=1$

Mà $xyz=1$ $\rightarrow \frac{xy}{z}+\frac{yz}{x}+\frac{xz}{y} \geq 3 \sqrt[3]{xyz}=3$ 

Dấu '=' xảy ra khi $x^{2}=y^{2}=z^{2} \leftrightarrow |x|=|y|=|z|$

Từ đó tìm ra 4 nghiệm là $(x,y,z)=(1,1,1);(1,-1,-1);(-1,1,-1);(-1,-1,1)$



#5
bovuotdaiduong

bovuotdaiduong

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 178 Bài viết

Ta có $VT=xyz[\frac{1}{z^{2}}+\frac{1}{y^{2}}+\frac{1}{x^{2}}]=3$ 

$\rightarrow xyz>0$

Áp dụng bđt Cauchy cho 3 số dương ta có 

$3=\frac{xyz}{z^{2}}+\frac{xyz}{y^{2}}+\frac{xyz}{x^{2}} \geq 3\sqrt[3]{xyz}$

$\rightarrow 1 \geq \sqrt[3]{xyz}$ 

$\rightarrow 1 \geq xyz$ 

$\rightarrow 0 < xyz \leq 1$ 

$x,y,z$ nguyên nên $xyz=1$

Mà $xyz=1$ $\rightarrow \frac{xy}{z}+\frac{yz}{x}+\frac{xz}{y} \geq 3 \sqrt[3]{xyz}=3$ 

Dấu '=' xảy ra khi $x^{2}=y^{2}=z^{2} \leftrightarrow |x|=|y|=|z|$

Từ đó tìm ra 4 nghiệm là $(x,y,z)=(1,1,1);(1,-1,-1);(-1,1,-1);(-1,-1,1)$

Bạn ơi tại sao khi chứng minh được $xyz > 0$ rồi tức là $\frac{xy}{z}\ > 0$ ta lại không lấy luôn pt ở đề bài mà lại lấy pt dòng thứ 4 để rồi phải áp dụng Cauchy thêm 1 lần nữa?


"There's always gonna be another mountain..."


#6
royal1534

royal1534

    Trung úy

  • Điều hành viên THCS
  • 773 Bài viết

Bạn ơi tại sao khi chứng minh được $xyz > 0$ rồi tức là $\frac{xy}{z}\ > 0$ ta lại không lấy luôn pt ở đề bài mà lại lấy pt dòng thứ 4 để rồi phải áp dụng Cauchy thêm 1 lần nữa?

À,Mình ghi thế để cho rõ rằng mỗi số hạng đều dương thôi mà 







Được gắn nhãn với một hoặc nhiều trong số những từ khóa sau: pt nghiệm nguyên

0 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh