Chủ đề này có 2 trả lời

[letnotfallinlove]

cm rằng với mọi số nguyên tố p thì phương trình

                         $2^{p} + 3^{p} = a^{n}$

 vô nghiệm (a, n) với a, n nguyên và a,n >1

 

[I Love MC]

Xét $p=2$ suy ra $a^n=13 \Rightarrow$ không tồn tại $a,n$ 
$p \ge 3$ thì $5|(2^p+3^p)$ suy ra $5|a$ suy ra $25|a^n$ 
Nhận thấy $(3,25)=1$ và $(2,25)=1$ 
Suy ra $2^{20} \equiv 1 \pmod{25}$ và $3^{20} \equiv 1 \pmod{25}$ 
Xét các trường hợp $p=20k+1,20k+3,20k+7,20k+9,20k+11,20k+13,20k+17,20k+19$ thì đều có $a^p+b^p \not \vdots 25$ 
Vậy phương trình $2^p+3^p=a^n$ vô nghiệm $(a,n)$ với $a,n \in N^{*}$ ($a,n>1$) (đpcm) 

[I Love MC]

Italy TST 1999