Chủ đề này có 2 trả lời

[quynhly]

tìm tất cả các bộ ba số thực (x;y;z) thỏa mãn $2x\sqrt{y-1}+2y\sqrt{z-1}+2z\sqrt{x-1}\geqslant xy+yz+zx$

[Minhnguyenthe333]

tìm tất cả các bộ ba số thực (x;y;z) thỏa mãn $2x\sqrt{y-1}+2y\sqrt{z-1}+2z\sqrt{x-1}\geqslant xy+yz+zx$

Đặt $a=\sqrt{x-1};b=\sqrt{y-1};c=\sqrt{z-1}$
$BPT\Leftrightarrow 2(a^2+1)b+2(b^2+1)c+2(c^2+1)a\geq \sum (a^2+1)(b^2+1)$
$\Leftrightarrow \sum 2a^2b+\sum 2a\geq 3+\sum a^2b^2+\sum 2a^2$
$\Leftrightarrow -(ab-a)^2-(bc-b)^2-(ca-a)^2-(a-1)^2-(b-1)^2-(c-1)^2\geq 0$
$\Rightarrow a=b=c=1\Leftrightarrow (x,y,z)=(2;2;2)$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Minhnguyenthe333: 28-11-2015 - 18:51

[royal1534]

Đặt $a=\sqrt{x-1};b=\sqrt{y-1};c=\sqrt{z-1}$

$BPT\Leftrightarrow 2(a^2+1)b+2(b^2+1)c+2(c^2+1)a\geq \sum (a^2+1)(b^2+1)$

$\Leftrightarrow \sum 2a^2b+\sum 2a\geq 3+\sum a^2b^2+\sum 2a^2$

$\Leftrightarrow -(ab-a)^2-(bc-b)^2-(ca-a)^2-(a-1)^2-(b-1)^2-(c-1)^2\geq 0$

$\Rightarrow a=b=c=1\Leftrightarrow (x,y,z)=(1;1;1)$

 

tìm tất cả các bộ ba số thực (x;y;z) thỏa mãn $2x\sqrt{y-1}+2y\sqrt{z-1}+2z\sqrt{x-1}\geqslant xy+yz+zx$

ê nhầm rồi,x=y=z=2 chứ 

Bài này có thể giải đơn giản bằng Cauchy

C2:Mình nghĩ điều kiện là x,y,z dương

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có

$2x\sqrt{y-1} \leq \frac{y-1+1}{2}.x.2=xy$

Tương tự $2y\sqrt{z-1} \leq yz$

               $2z\sqrt{x-1} \leq xz$

$\rightarrow 2x\sqrt{y-1}+2y\sqrt{z-1}+2z\sqrt{x-1} \leq xy+yz+xz$

Kết hợp gỉa thiết $\rightarrow 2x\sqrt{y-1}+2y\sqrt{z-1}+2z\sqrt{x-1}=xy+yz+xz$ 

Dấu '=' xảy ra khi $\sqrt{x-1}=\sqrt{y-1}=\sqrt{z-1}=1$ 

                  $\leftrightarrow x=y=z=2$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi royal1534: 28-11-2015 - 11:47