Chủ đề này có 6 trả lời

[hien2000a]

a) Tìm nghiệm nguyên của phương trình $2(x+y)+xy=x^{2}+y^{2}$

b) Chứng minh rằng nếu 3 số a,a+k,a+2k đều là các số nguyên tố lớn hơn 3 thì $k\vdots 6$

[Min Nq]

b) Chứng minh rằng nếu 3 số a,a+k,a+2k đều là các số nguyên tố lớn hơn 3 thì $k\vdots 6$

 

Gỉa sử a+k và a+2k không cùng số dư khi chia cho 3, khi đó suy ra được$2a+3k\vdots 3$ suy ra $a\vdots 3$, vô lí vì a là số nguyên tố lớn hơn 3. Vậy a+k và a+2k khác số dư khi chia cho 3. Xét a+k và a+2k cùng chia 3 dư 1, khi đó vì $a+(a+k)+(a+2k)$ chia hết cho 3 nên a chia 3 dư 1, mà a+k chia 3 dư 1 nên k chia hết cho 3. Xét a+k và a+2k cùng chia 3 dư 2, tương tự trên ta có a chia 3 dư 2, mà a+2k chia 3 dư 2 nên 2k chia hết cho 3, 2 và 3 nguyên tố cùng nhau nên k chia hết cho 3. Vậy ta luôn có  k chia hết cho 3.(1)

Vì a+k và a+2k nguyên tố lớn hơn 3 nên cùng lẻ, suy ra (a+k)+(a+2k) chẵn, suy ra 2a+3k chẵn, suy ra k chẵn(2)

Từ (1) và (2) ta có đpcm

[Min Nq]

a) Tìm nghiệm nguyên của phương trình $2(x+y)+xy=x^{2}+y^{2}$

phương trình tương đương $2x^{2}+2y^{2}-4x-4y-2xy=0\Leftrightarrow (x-y)^{2}+(x-2)^{2}+(y-2)^{2}=8$, vì bình phương luôn không âm nên $\left | x-2 \right |\leq \sqrt{8}< 3\Rightarrow x-2\in \left \{ -2;-1;0;1;2\left. \right \} \right.\Rightarrow x\in \left \{ 0;1;2;3;4\left. \right \} \right.$, thế từng giá trị của x vào phương trình ta có được y và chỉ chọn y nguyên. Bước cuối cùng là thử lại và kết luận.

[quanguefa]

Một cách "hơi khác".

Viết lại PT thành: $x^{2}-(2+y)x+y^{2}-2y=0$

Lập: $\Delta =-3y^{2}+12y+4$

PT có nghiệm $\Leftrightarrow \Delta \geq 0\Leftrightarrow 0\leq y\leq 4$ (vì y nguyên).

Vì x nguyên nên $\Delta $ là số chính phương, thay các giá trị của y vào thấy y=0; 2; 4 thỏa mãn.

Thay y vừa tìm được vào PT ta tìm được x. Có tất cả là 6 nghiệm.

[hien2000a]

Một cách "hơi khác".

Viết lại PT thành: $x^{2}-(2+y)x+y^{2}-2y=0$

Lập: $\Delta =-3y^{2}+12y+4$

PT có nghiệm $\Leftrightarrow \Delta \geq 0\Leftrightarrow 0\leq y\leq 4$ (vì y nguyên).

Vì x nguyên nên $\Delta $ là số chính phương, thay các giá trị của y vào thấy y=0; 2; 4 thỏa mãn.

Thay y vừa tìm được vào PT ta tìm được x. Có tất cả là 6 nghiệm.

bạn ơi bạn làm kỹ bước lập $\Delta =-3y^{2}+12y+4$ được không? mình ko hiểu lắm

[quanguefa]

bạn ơi bạn làm kỹ bước lập $\Delta =-3y^{2}+12y+4$ được không? mình ko hiểu lắm

Xem đó là tam thức bậc 2 ẩn x, lập $\Delta =(y+2)^{2}-4(y^{2}-2y)$

[hien2000a]

Xem đó là tam thức bậc 2 ẩn x, lập $\Delta =(y+2)^{2}-4(y^{2}-2y)$

cảm ơn bạn!