Chủ đề này có 6 trả lời

[robot3d]

1 BDT hoán vị nổi tiếng giải = AM-GM.

Vs mọi a,b,c dương, ta luôn có:

$\sum \sqrt{\frac{a}{a+b}}\leq \frac{3}{\sqrt{2}}$

p/s:

$(\sum \sqrt{\frac{a}{a+b}})^2\leq (a+b+c)(\sum \frac{1}{a+b})\leq \frac{9}{2}=>2(\sum (a(a+c)(a+b)))\leq 3(a+b)(b+c)(c+a)=3(a+b+c)(ab+bc+ac)-3abc$

 tới đây bít rồi, heo mi!!!

[huytruong]

Ta có

$(\sum \sqrt{\frac{a}{a+b}})^2\leq (\sum (a+c))(\sum \frac{a}{(a+b)(a+c)})=\frac{4(a+b+c)(ab+bc+ac)}{(a+c)(b+c)(c+a)}$

Suy ra cần cm

$8(a+b+c)(ab+bc+ac)\leq 9(a+b)(b+c)(c+a)$

Bđt này đúng vì

$8(a+b+c)(ab+bc+ac)=8(a+b)(b+c)(c+a)+8abc\leq 9(a+b)(b+c)(c+a)$

Từ đó có đpcm

Đẳng thức khi a=b=c

[robot3d]

1 BDT hoán vị nổi tiếng giải = AM-GM.

Vs mọi a,b,c dương, ta luôn có:

$\sum \sqrt{\frac{a}{a+b}}\leq \frac{3}{\sqrt{2}}$

p/s:

$(\sum \sqrt{\frac{a}{a+b}})^2\leq (a+b+c)(\sum \frac{1}{a+b})\leq \frac{9}{2}=>2(\sum (a(a+c)(a+b)))\leq 3(a+b)(b+c)(c+a)=3(a+b+c)(ab+bc+ac)-3abc$

 tới đây bít rồi, heo mi!!!

 

Ta có

$(\sum \sqrt{\frac{a}{a+b}})^2\leq (\sum (a+c))(\sum \frac{a}{(a+b)(a+c)})=\frac{4(a+b+c)(ab+bc+ac)}{(a+c)(b+c)(c+a)}$

Suy ra cần cm

$8(a+b+c)(ab+bc+ac)\leq 9(a+b)(b+c)(c+a)$

Bđt này đúng vì

$8(a+b+c)(ab+bc+ac)=8(a+b)(b+c)(c+a)+8abc\leq 9(a+b)(b+c)(c+a)$

Từ đó có đpcm

Đẳng thức khi a=b=c

có sự pt khác nhau, bạn nói rõ hộ mình cái. tks

[huytruong]

Theo mình nghỉ thì nếu pt theo cách của bạn thì bđt

$(a+b+c)(\sum \frac{1}{a+b})\leq \frac{9}{2}$ ko đúng vì khi thay bộ (1,1,3)

Còn cách pt dưới thì cũng đối xứng hóa và cm đc bđt sau đúng

[robot3d]

Theo mình nghỉ thì nếu pt theo cách của bạn thì bđt

$(a+b+c)(\sum \frac{1}{a+b})\leq \frac{9}{2}$ ko đúng vì khi thay bộ (1,1,3)

Còn cách pt dưới thì cũng đối xứng hóa và cm đc bđt sau đúng

vậy đánh giá sao mà ra $\sum (a+c)\sum \frac{a}{(a+b)(a+c)}$??

[huytruong]

Mình cũng cauchy.schwarz 

$(\sum \sqrt{\frac{a}{a+b}})^2=(\sum \sqrt {(a+c)\frac{a}{(a+b)(a+c)}})^{2}\leq( \sum (a+c))(\sum \frac{a}{(a+b)(a+c)})$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi huytruong: 26-11-2015 - 23:31

[robot3d]

Mình cũng cauchy.schwarz 

$(\sum \sqrt{\frac{a}{a+b}})^2=(\sum \sqrt {(a+c)\frac{a}{(a+b)(a+c)}})^{2}\leq( \sum (a+c))(\sum \frac{a}{(a+b)(a+c)})$

ờ hay.