Đến nội dung

Hình ảnh

$AX,BY,CZ$ đồng quy

- - - - -

  • Please log in to reply
Chủ đề này có 1 trả lời

#1
halloffame

halloffame

    Thiếu úy

  • Điều hành viên OLYMPIC
  • 522 Bài viết
Cho tam giác $ABC,E,F$ trung điểm $CA,AB. AA'$ đường cao$.M_{a}, N_{a}$ đối xứng $A$ qua $A'F,A'E.(A'EM_{a})$ cắt $(A'FN_{a})$ ở $L_{a}.A'L_{a}$ cắt $EF$ ở $X.$ Tương tự có $Y,Z.$ Chứng minh $AX,BY,CZ$ đồng quy.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi halloffame: 26-11-2015 - 11:55

Sự học như con thuyền ngược dòng nước, không tiến ắt phải lùi.


#2
nguyenhaan2209

nguyenhaan2209

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 103 Bài viết

Để giải bài này trước hết ta cần 2 bổ đề sau:

$1.$ Bổ đề $ERIQ$: https://julielltv.wo.../15/bo-de-eriq/

$2.$ Bổ đề $Cevian Nest$: https://artofproblem...342_cevian_nest

Trở lại bài toán:

Gọi $D',E',M',G'$ là trung điểm $AN, AM, A'M, A'N, AA'$ cắt $DE$ tại $F$
Theo giả thiết thì $M, N$ đối xứng $A$ qua $A'D, A'F$
$\Rightarrow  EM=EA=EB$ và $DN=DA=DC$ 
$\Rightarrow  NA \perp NC$ và $MA \perp MB$
Mà  $\overline{A'F}.\overline{A'A}=\overline{A'E}.\overline{A'E'} \Rightarrow  EE'MM'$  nội tiếp, cmtt thì $DGND'$ nội tiếp
Thực hiện phép nghịch đảo cực $A$, phương tích $\overline{A'F}.\overline{A'D}$
Khi đó: $f: N \Rightarrow  G, M \Rightarrow  M', E \Rightarrow  E', D \Rightarrow  D'$
Từ đó $f: (MDA') \Rightarrow  M'D', (NEA') \Rightarrow  E'G$
Vậy $L_a=(MDA') \cap  (NEA')  \Rightarrow L=D'M \cap E'G$
Theo bổ đề $2$, chú ý $AA', BB', CC'$ đồng quy tại trực tâm $H$
Vậy ta cần CM $AL_a, BL_b, CL_c$ đồng quy
Do phép nghịch đảo thì $A',L,L_a$ thẳng hàng nên ta cần CM: $A'L, B'I, C'K$ đồng quy
Theo bổ đề $1$, chú ý rằng: $D',E',M',G$ theo thứ tự là trung điểm $AN, AM, A'M, A'N$
Từ đó $D'M'$ cắt $E'G$ tại $L$ là trung điểm của mỗi đường
Ta chuyển định lí về dạng $Ceva sin$, ta có:
$sinLA'D'/sinLA'E'=sinLA'D'/LD'.LD'/LE'.LE'/sinLA'E'$
$=sinLD'A'/LA'.LA'/sinLE'A'.LD'/LE'$
$=sinM'D'A'/sinA'E'G.M'D'/E'G'$
$=sinM'D'A'/A'M'.A'G/sinA'E'G.M'D'/E'G'$
$=sinDA'M/MD'.E'G'/sinE'A'G.M'D'/E'G'$
$=sinDA'M/sinEA'N$
Có: $D'AM=360-DAE'-B-2C=90+EA'C+C-B-2C=180+90-B-B-C=270-2B-C=360-(90+2B+C)$
Tương tự thì $EA'N=360-(90+2C+B)$
Vậy $sinLA'D'/sinLA'E'=cos(2B+C)/cos(2C+B)=cos(A-B)/cos(A-C)$
Nhân các tỉ số lại với nhau, chú ý $cos(x)=cos(-x)$, ta được $\prod =1$
Theo định lí $Ceva sin$, ta có $A'L, B'I, C'K$ đồng quy
Vậy ta có ĐPCM  

Hình gửi kèm

  • to.png





1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh