Cho $a,b,c\geq 1$ thỏa $a+b+c+2=abc$.Tìm $GTLN$ của biểu thức:
$P=\frac{\sqrt{a^2-1}}{a}+\frac{\sqrt{b^2-1}}{b}+\frac{\sqrt{c^2-1}}{c}$
Cho $a,b,c\geq 1$ thỏa $a+b+c+2=abc$.Tìm $GTLN$ của biểu thức: $P=\sum \frac{\sqrt{a^2-1}}{a}$
Bắt đầu bởi Minhnguyenthe333, 26-11-2015 - 17:52
#2
Đã gửi 07-05-2021 - 10:54
KietLW9
-
- Điều hành viên THCS
-
- 1737 Bài viết
Đại úy
Áp dụng bất đẳng thức Cô-si, ta được: $abc=a+b+c+2\geqslant 3\sqrt[3]{abc}+2$
Đặt $\sqrt[3]{abc}=t$ thì ta có: $t^3\geqslant 3t+2\Leftrightarrow (t-2)(t+1)^2\geqslant 0\Rightarrow t\geqslant 2$
$\Rightarrow abc\geqslant 8$
Do đó $\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}\geqslant \frac{1}{ab}+\frac{1}{bc}+\frac{1}{ca}=\frac{a+b+c}{abc}=\frac{abc-2}{abc}=1-\frac{2}{abc}\geqslant \frac{3}{4}$
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwraz:$P=\frac{\sqrt{a^2-1}}{a}+\frac{\sqrt{b^2-1}}{b}+\frac{\sqrt{c^2-1}}{c}\leqslant \sqrt{3(3-(\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}))}\leqslant \sqrt{3(3-\frac{3}{4})}=\frac{3\sqrt{3}}{2}$
Đẳng thức xảy ra khi $a=b=c=2$
Trong cuộc sống không có gì là đẳng thức , tất cả đều là bất đẳng thức 
$\text{LOVE}(\text{KT}) S_a (b - c)^2 + S_b (c - a)^2 + S_c (a - b)^2 \geqslant 0\forall S_a,S_b,S_c\geqslant 0$
0 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh
