Đến nội dung

Hình ảnh

$\sum \frac{a(a-2b+c)}{ab+1}\geq 0$


  • Please log in to reply
Chưa có bài trả lời

#1
robot3d

robot3d

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 243 Bài viết

cho a,b,c dương, a+b+c=3. CMR:

$\sum \frac{a(a-2b+c)}{ab+1}\geq 0$        (*)

p/s:giải vầy đúng không m.n?

+ ta có: (*) tương đương 

$\sum \frac{a^2}{ab+1}+\sum \frac{ac}{ab+1}+2\sum \frac{1}{ab+1}\geq 6$

+ theo gt, có :a+b+c=3 => ab+bc+ac<=3

+ mặt khác:

$\sum \frac{a^2}{ab+1}\geq \frac{(a+b+c)^2}{ab+bc+ac+3}=\frac{3}{2}$

$2\sum \frac{1}{ab+1}\geq \frac{18}{ab+bc+ac+3}=3$

 => cần CM: $\sum \frac{ac}{ab+1}\geq \frac{3}{2}$

 + ta có:

$\frac{ac}{ab+1}+\frac{ab+1}{4a}+\frac{c^2}{2}\geq \frac{3c}{2}$

$\frac{bc}{ac+1}+\frac{ac+1}{4c}+\frac{b^2}{2}\geq \frac{3b}{2}$

$\frac{ab}{bc+1}+\frac{bc+1}{4b}+\frac{a^2}{2}\geq \frac{3a}{2}$

 cộng vế theo vế có:

$\sum \frac{ac}{ab+1}+\frac{1}{4}\sum \frac{1}{a}+\sum \frac{a^2}{2}+\sum \frac{a}{4}\geq \sum \frac{3a}{2}=>\geq \sum \frac{ac}{ab+1}+\frac{3}{4}+\frac{3}{2}\geq \frac{15}{4}=>\sum \frac{ac}{ab+1}\geq \frac{3}{2},(dpcm))$

:ukliam2:  :ukliam2:  :ukliam2:  :ukliam2:


:luoi Điều gì đang cản trở bạn?LÀ CHÍNH BẠN !. Hãy thể hiện niềm đam mê của mình " Chỉ cần Bước đi và Tìm kiếm nó" :luoi 





1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh