TRƯỜNG THPT CHUYÊN QUỐC HỌC - HUẾ ĐỀ KIỂM TRA TOÁN 10
TỔ TOÁN Thời gian : 120 phút.
Câu 1: (4điểm) Cho $a,b,c$ là các số thực dương thỏa mãn $a+b+c=1$. Chứng minh:
$\frac{a^2+b^2}{c}+\frac{b^2+c^2}{a}+\frac{c^2+a^2}{b} \geqslant 2$
Câu 2: (6đ) Cho tam giác $ABC$, điểm $X$ thay đổi trên đường thẳng $BC$ sao cho $C$ nằm giữa $B$ và $X$. Gọi $M$ là trung điểm của $AB$. Đường tròn nội tiếp tam giác $ABX$ tiếp xúc với $BX, AX$ lần lượt tại $D,E$.
a) Gọi $I$ là giao điểm của $DE$ và phân giác trong của góc $B$. Chứng minh $MI || BC$
b) Các đường tròn nội tiếp các tam giác $ABX$ và $ACX$ cắt nhau tại $P$ và $Q$. Chứng minh rằng đường thẳng $PQ$ đi qua một điểm cố định.
Câu 3: (5đ) Phân chia tập $A=\left \{ 1;2;3;...;2016 \right \}$ thành $1008$ tập con rời nhau, mỗi tập gồm hai phần tử, ta gọi kích thước của mỗi tập con là tổng hai phần tử của nó. Gọi $x$ là số các tập con mà kích thước của chúng phân biệt từng đôi một và không vượt quá $2016$, gọi $S$ là tổng tất cả các phần tử của các tập con đó.
a) Chứng minh rằng $x(2x+1) \leqslant S \leqslant \frac{-x^2+4033x}{2}$
b) Tìm giá trị lớn nhất của $x$.
Câu 4: (5đ) Với một số nguyên dương $n$ cho trước, gọi $f(n)$ là số nguyên dương nhỏ nhất sao cho $\sum_{k=1}^{f(n)} k$ là bội của $n$. Chứng minh rằng $f(n)=2n-1$ khi chỉ khi $n$ là lũy thừa của $2$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Nguyen Minh Hai: 27-11-2015 - 20:15