Đến nội dung

Hình ảnh

ĐỀ KIỂM TRA TOÁN 10 TRƯỜNG THPT CHUYÊN QUỐC HỌC 2015 - 2016


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 13 trả lời

#1
Nguyen Minh Hai

Nguyen Minh Hai

    Thiếu úy

  • Thành viên
  • 666 Bài viết

TRƯỜNG THPT CHUYÊN QUỐC HỌC - HUẾ                                         ĐỀ KIỂM TRA TOÁN 10

                            TỔ TOÁN                                                                                          Thời gian : 120 phút.

 

Câu 1: (4điểm) Cho $a,b,c$ là các số thực dương thỏa mãn $a+b+c=1$. Chứng minh:

                      $\frac{a^2+b^2}{c}+\frac{b^2+c^2}{a}+\frac{c^2+a^2}{b} \geqslant 2$

 

Câu 2: (6đ) Cho tam giác $ABC$, điểm $X$ thay đổi trên đường thẳng $BC$ sao cho $C$ nằm giữa $B$ và $X$. Gọi $M$ là trung điểm của $AB$. Đường tròn nội tiếp tam giác $ABX$ tiếp xúc với $BX, AX$ lần lượt tại $D,E$.

     a) Gọi $I$ là giao điểm của $DE$ và phân giác trong của góc $B$. Chứng minh $MI || BC$

     b) Các đường tròn nội tiếp các tam giác $ABX$ và $ACX$ cắt nhau tại $P$ và $Q$. Chứng minh rằng đường thẳng $PQ$ đi qua một điểm cố định.

 

Câu 3: (5đ) Phân chia tập $A=\left \{ 1;2;3;...;2016 \right \}$ thành $1008$ tập con rời nhau, mỗi tập gồm hai phần tử, ta gọi kích thước của mỗi tập con là tổng hai phần tử của nó. Gọi $x$ là số các tập con mà kích thước của chúng phân biệt từng đôi một và không vượt quá $2016$, gọi $S$ là tổng tất cả các phần tử của các tập con đó.

     a) Chứng minh rằng      $x(2x+1) \leqslant S \leqslant \frac{-x^2+4033x}{2}$

     b) Tìm giá trị lớn nhất của $x$.

 

Câu 4: (5đ) Với một số nguyên dương $n$ cho trước, gọi $f(n)$ là số nguyên dương nhỏ nhất sao cho $\sum_{k=1}^{f(n)} k$  là bội của $n$. Chứng minh rằng $f(n)=2n-1$ khi chỉ khi $n$ là lũy thừa của $2$

 

Spoiler


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Nguyen Minh Hai: 27-11-2015 - 20:15


#2
Belphegor Varia

Belphegor Varia

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 227 Bài viết

Câu 2 đã có tại đây (#20)


$ \textbf{NMQ}$

Wait a minute, You have enough time. Also tomorrow will come 

Just take off her or give me a ride 

Give me one day or one hour or just one minute for a short word 

 


#3
Quoc Tuan Qbdh

Quoc Tuan Qbdh

    DragonBoy

  • Điều hành viên THCS
  • 1005 Bài viết

TRƯỜNG THPT CHUYÊN QUỐC HỌC - HUẾ                                         ĐỀ KIỂM TRA TOÁN 10

                            TỔ TOÁN                                                                                          Thời gian : 120 phút.

 

Câu 1: (4điểm) Cho $a,b,c$ là các số thực dương thỏa mãn $a+b+c=1$. Chứng minh:

                      $\frac{a^2+b^2}{c}+\frac{b^2+c^2}{a}+\frac{c^2+a^2}{b} \geqslant 2$

 

 

Ta có :

$\sum \frac{a^{2}+b^{2}}{c} \geq \sum \frac{(a+b)^{2}}{2c} \geq \frac{(2\sum a)^{2}}{\sum 2c}(C-S)=2$

Dấu bằng khi $a=b=c=\frac{1}{3}$

 

Spoiler


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Quoc Tuan Qbdh: 27-11-2015 - 19:21


#4
Hoang Nhat Tuan

Hoang Nhat Tuan

    Hỏa Long

  • Thành viên
  • 974 Bài viết

Câu 2 đã có tại đây (#20)

 

TRƯỜNG THPT CHUYÊN QUỐC HỌC - HUẾ                                         ĐỀ KIỂM TRA TOÁN 10

                            TỔ TOÁN                                                                                          Thời gian : 120 phút.

 

 

 

Câu 2: (6đ) Cho tam giác $ABC$, điểm $X$ thay đổi trên đường thẳng $BC$ sao cho $C$ nằm giữa $B$ và $X$. Gọi $M$ là trung điểm của $AB$. Đường tròn nội tiếp tam giác $ABX$ tiếp xúc với $BX, AX$ lần lượt tại $D,E$.

     a) Gọi $I$ là giao điểm của $DE$ và phân giác trong của góc $B$. Chứng minh $MI || BC$

     b) Các đường tròn nội tiếp các tam giác $ABX$ và $ACX$ cắt nhau tại $P$ và $Q$. Chứng minh rằng đường thẳng $PQ$ đi qua một điểm cố định.

 

 

Untitled.png

a) Theo một bổ đề quen thuộc thì $\widehat{AIB}=90$ độ.

Sau đó như thế nào thì dễ rồi.

b) 

Gọi giao điểm của $MI$ với $PQ$ là $N$, $K,L$ theo thứ tự là giao của $PQ$ với $AX,BX$. Các điểm còn lại như hình vẽ.

Dễ thấy điểm $I$ cố định và $EG=DJ$

$PQ$ là trục đẳng phương nên dễ chứng minh $PQ//ED$.

Lại có $IN//DL$ nên $INLD$ là hình bình hành dẫn đến $IN=DL=\frac{DJ}{2}$

Mà $DJ=DC+CL=DC+CO=BC-BR+AC-AO=AC+BC-BR-(AE+EG)=AC+BC-AB-DJ$.

Nên $DJ$ có độ dài không đổi dẫn đến $IN$ có độ dài không đổi.

Mà $I$ cố định và $IN//BC$ nên $N$ cố định.

=> ĐPCM


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Hoang Nhat Tuan: 27-11-2015 - 18:17

Ngài có thể trói cơ thể tôi, buộc tay tôi, điều khiển hành động của tôi: ngài mạnh nhất, và xã hội cho ngài thêm quyền lực; nhưng với ý chí của tôi, thưa ngài, ngài không thể làm gì được.

#5
tpdtthltvp

tpdtthltvp

    Trung úy

  • Điều hành viên THCS
  • 831 Bài viết

TRƯỜNG THPT CHUYÊN QUỐC HỌC - HUẾ                                         ĐỀ KIỂM TRA TOÁN 10

                            TỔ TOÁN                                                                                          Thời gian : 120 phút.

 

Câu 1: (4điểm) Cho $a,b,c$ là các số thực dương thỏa mãn $a+b+c=1$. Chứng minh:

                      $\frac{a^2+b^2}{c}+\frac{b^2+c^2}{a}+\frac{c^2+a^2}{b} \geqslant 1$

 

 

Bài này hình như min phải bằng 2 chứ bạn?


$\color{red}{\mathrm{\text{How I wish I could recollect, of circle roud}}}$

$\color{red}{\mathrm{\text{The exact relation Archimede unwound ! }}}$

 


#6
Nguyen Minh Hai

Nguyen Minh Hai

    Thiếu úy

  • Thành viên
  • 666 Bài viết

attachicon.gifUntitled.png

a) Theo một bổ đề quen thuộc thì $\widehat{AIB}=90$ độ.

Sau đó như thế nào thì dễ rồi.

b) 

Gọi giao điểm của $MI$ với $PQ$ là $N$, $K,L$ theo thứ tự là giao của $PQ$ với $AX,BX$. Các điểm còn lại như hình vẽ.

Dễ thấy điểm $I$ cố định và $EG=DJ$

$PQ$ là trục đẳng phương nên dễ chứng minh $PQ//ED$.

Lại có $IN//DL$ nên $INLD$ là hình bình hành dẫn đến $IN=DL=\frac{DJ}{2}$

Mà $DJ=DC+CL=DC+CO=BC-BR+AC-AO=AC+BC-BR-(AE+EG)=AC+BC-AB-DJ$.

Nên $DJ$ có độ dài không đổi dẫn đến $IN$ có độ dài không đổi.

Mà $I$ cố định và $IN//BC$ nên $N$ cố định.

=> ĐPCM

Ngồi thi còn ko vẽ được cái hình nữa :'(



#7
Hoang Nhat Tuan

Hoang Nhat Tuan

    Hỏa Long

  • Thành viên
  • 974 Bài viết

Ngồi thi còn ko vẽ được cái hình nữa :'(

Tội vậy, thế câu a cũng giải không ra à, rứa còn câu cuối răng không giải, sở trường của mi tê. 

 

Ta có :

$\sum \frac{a^{2}+b^{2}}{c} \geq \frac{(a+b)^{2}}{2c} \geq \frac{2\sum a}{\sum 2c}(C-S)=1$

Dấu bằng khi $a=b=c=\frac{1}{3}$

 

Spoiler

Cái tội không học làm chi, đã bảo dùng Mene với Ceva rồi chì 

Chú mày làm sai câu bất kìa, chủ quan là toi đời đó nha :D


Ngài có thể trói cơ thể tôi, buộc tay tôi, điều khiển hành động của tôi: ngài mạnh nhất, và xã hội cho ngài thêm quyền lực; nhưng với ý chí của tôi, thưa ngài, ngài không thể làm gì được.

#8
Hoang Nhat Tuan

Hoang Nhat Tuan

    Hỏa Long

  • Thành viên
  • 974 Bài viết

 

Câu 3: (5đ) Phân chia tập $A=\left \{ 1;2;3;...;2016 \right \}$ thành $1008$ tập con rời nhau, mỗi tập gồm hai phần tử, ta gọi kích thước của mỗi tập con là tổng hai phần tử của nó. Gọi $x$ là số các tập con mà kích thước của chúng phân biệt từng đôi một và không vượt quá $2016$, gọi $S$ là tổng tất cả các phần tử của các tập con đó.

     a) Chứng minh rằng      $x(2x+1) \leqslant S \leqslant \frac{-x^2+4033x}{2}$

     b) Tìm giá trị lớn nhất của $x$.

 

 

Mới làm được câu a):

Có $x$ tập con có 2 phần tử nên tổng $S$ bằng tổng của $2x$ phần tử.

Vì các phần tử phân biệt nên $S\geq 1+2+...+2x=x(2x+1)$

Theo giả thiết thì kích thước của các tập con trong $x$ tập con đó phân biệt từng đôi một và không vượt quá $2016$.

Do đó: $S\leq (2017-1)+(2017-2)+...+(2017-x)=\frac{-x^2+4033x}{2}$

=> ĐPCM 

Ngang đây có thể suy ra được $x\leq 806$. Giờ cần chứng minh với $x=806$ thì tồn tại $806$ tập con thỏa mãn bài toán, hoặc thử chứng minh với một đại lượng gần nhất $\leq 806$ nào đó


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Hoang Nhat Tuan: 27-11-2015 - 22:14

Ngài có thể trói cơ thể tôi, buộc tay tôi, điều khiển hành động của tôi: ngài mạnh nhất, và xã hội cho ngài thêm quyền lực; nhưng với ý chí của tôi, thưa ngài, ngài không thể làm gì được.

#9
Nguyen Minh Hai

Nguyen Minh Hai

    Thiếu úy

  • Thành viên
  • 666 Bài viết

Mới làm được câu a):

Có $x$ tập con có 2 phần tử nên tổng $S$ bằng tổng của $2x$ phần tử.

Vì các phần tử phân biệt nên $S\geq 1+2+...+2x=x(2x+1)$

Theo giả thiết thì kích thước của các tập con trong $x$ tập con đó phân biệt từng đôi một và không vượt quá $2016$.

Do đó: $S\leq (2017-1)+(2017-2)+...+(2017-x)=\frac{-x^2+4033x}{2}$

=> ĐPCM 

Câu b sử dụng câu a suy ra được $x \leqslant 806$. Chỉ cần chỉ ra $806$ tập thõa mãn là được :3 



#10
dogsteven

dogsteven

    Đại úy

  • Thành viên
  • 1567 Bài viết

Nếu $a=2n-1$ là số nhỏ nhất sao cho $a(a+1)\vdots 2n$ thì ta chứng minh $n=2^k$

Giả sử $n$ có ít nhất hai ước nguyên tố thì tồn tại $a,b>1$ sao cho $n=xy$ sao cho $(x,y)=1$ và không mất tính tổng quát, giả sử $y$ lẻ.

Xét hệ phương trình: $t\equiv 0\pmod{2x}$ và $t\equiv -1\pmod{y}$

Theo định lý thặng dư trung hoa hệ này có nghiệm duy nhất theo modulo $2xy=2n$ là $a_0$

Ta có $a_0\vdots 2x$ và $a_0+1\vdots y$ nên $a_0(a_0+1)\vdots 2xy=2n$

Ngoài ra $a_0$ chẵn, nên ta chọn $a_0$ trong $\{0,2,4,...,2n-2\}$. Do đó $a_0<a$, điều này vô lý.

Do đó $n$ chỉ có một ước nguyên tố. Đến đây dễ rồi.


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi dogsteven: 27-11-2015 - 23:04

Quyết tâm off dài dài cày hình, số, tổ, rời rạc.


#11
Hoang Nhat Tuan

Hoang Nhat Tuan

    Hỏa Long

  • Thành viên
  • 974 Bài viết

Câu b sử dụng câu a suy ra được $x \leqslant 806$. Chỉ cần chỉ ra $806$ tập thõa mãn là được :3 

Cuối cùng cũng ra :D

Ta tách như sau:

Ta sẽ nhóm các cặp có dạng sau: $(404-x;1612-x)$ với $x$ chạy từ $0->403$.

Dạng $(1208-x;807-x)$ với $x$ chạy từ $0->400$

Cuối cùng còn cặp $(405;406)$

Đáp án: $x_{max}=806$


Ngài có thể trói cơ thể tôi, buộc tay tôi, điều khiển hành động của tôi: ngài mạnh nhất, và xã hội cho ngài thêm quyền lực; nhưng với ý chí của tôi, thưa ngài, ngài không thể làm gì được.

#12
gatoanhoc1998

gatoanhoc1998

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 66 Bài viết

câu bđt dễ nhỉ: ???

$\sum (\frac{a^{2}}{c}+c)\geq 2a\Rightarrow \sum \frac{a^{2}+b^{2}}{c}\geq 2\sum a=2$

(đpcm)

câu số thì khá dễ nếu như áp dụng định lí Lucas



#13
gatoanhoc1998

gatoanhoc1998

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 66 Bài viết

Mà hình như câu số giải bằng pp sơ cấp hơi thốn:(câu này có lẽ là của thầy Nam???)

Chiều đảo:

Nếu $n= 2^{m}$ ta chứng minh f(n)=2n-1

* c/m $\sum_{1}^{2n-1}k$ là bội của n

Rõ ràng vì $\sum_{1}^{2n-1}k=n(2n-1)$ là bội của n

*c/m 2n-1 là số nhỏ nhất

Với r<2n-1 tức là $r\leq 2n-2$ ta có

$\sum_{1}^{r}k=\frac{r(r+1)}{2}$

Hai số r và r+1 có 1 số lẻ, số còn lại không vượt quá $2n-1=2^{m+1}-1$ nên dễ thấy

$\sum_{1}^{r}k$ không là bội của n=2^m

Chiều thuận

Giả sử n không là lũy thừa của 2 ta c/m f(n)<2n-1

Thật vậy $n=2^{m}a$ với a lẻ, a>1

Ta cần chỉ ra $1\leq r< 2n-1$ thỏa

$2^{m+1}/r$ và $a/r+1$

Lúc đó

$\sum_{1}^{r}k=\frac{r(r+1)}{2}$ sẽ chia hết cho n

----> Xét hệ thẳng dư:(1)

$x\equiv 0(mod 2^{m+1}),x\equiv -1(moda)$

Vì $(2^{m+1},a)=1$ nên có nghiệm x0 cho hệ (1) xác định duy nhất theo modulo $2^{m+1}a=2n$

Tức là ta tìm được $0< r\leq 2n$ thỏa (1)

Vì nghiệm này thỏa (1) nên thỏa đkbt

Ta cần c/m r<2n-1

*Từ đồng dư thức thứ 2 của (1) ta có:

$r\equiv -1(moda)\Rightarrow a/r+1$

Nếu r=2n thì a/2n+1

Vì $2^{m}a=n$ nên a/n$\rightarrow a/2n$

suy ra a/1 (vô lí vì a>1)

Vậy r<2n

*Từ đồng dư thức thứ 1 của (1) ta có:

$2^{m+1}/r$ nên nếu r=2n-1 thì $2^{m+1}$ là ước số của $2n-1=2^{m+1}a-1\Rightarrow 2^{m+1}/1$(vô lý)

Vậy r<2n-1

$\Rightarrow f(n)<2n-1$



#14
gatoanhoc1998

gatoanhoc1998

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 66 Bài viết

câu hình thầy Lợi cho tập huấn ĐTQG thì phải ???  >:)






0 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh