Chủ đề này có 2 trả lời

[Totoro]

Giải phương trình nghiệm nguyên $\left( x^{2}-y^{2}\right)^{2}=16y+1 $

[Namthemaster1234]

$x=0$ không thỏa mãn

 

Trước hết ta có nhận xét rằng $x_0$ là nghiệm thì $-x_0$ cũng là nghiệm nên không mất tính tổng quát ta chỉ xét $x$ dương. Từ phương trình ta cũng có: $y \geq 0$

 

$TH1$ : Xét : $x \geq y \geq 0$. Đặt $x-y=b$, $x+y=a$ ($b \geq 0$)

 

$a^2b^2-8a+8b-1=0$

 

$\Rightarrow 16 -b^2(8b-1) \geq 0 \Rightarrow b \leq 1$

 

Với $b=1$ thì tìm được $(x,y)=(1,0)$

 

Với $b=0$ thì tìm được $(x,y)=(4,3)$

 

$TH2$: Xét : $x<y$

 

Đặt $y-x=b$, $x+y=a$ ($a,b \geq 1$). Phương trình trở thành : $a^2b^2=8(a+b)+1$ $(*)$

 

$(ab-1)(ab+1)=8(a+b) \Rightarrow ab+1 \mid 8(a+b)$ mà $(a-1)(b-1) \geq 0 \Rightarrow ab+1 \geq a+b$

 

Đặt $8(a+b)=(ab+1)k$ thì $1 \leq k \leq 8$

 

Với $k=1$ thì $ab+1=8(a+b)$ .Kết hợp với $(*)$ tìm được $ab=2$. không có $x,y$ thỏa

Với $k=2$ thì $ab+1=4(a+b)$. Kết hợp với $(*)$ tìm được $ab=3$. Tìm được $(x,y)=(2,1)$

Với $k=3$ thì $3(ab+1)=8(a+b)$ Kết hợp với $(*)$ tìm được $ab=4$. không thỏa

Với $k=4$ thì Kết hợp với $(*)$ tìm được $ab= $(x,y)=(2,3)$

Với $k=5$ thì  Kết hợp với $(*)$ tìm được $ab=3$.

Với $k=6$ thì  Kết hợp với $(*)$ tìm được $(x,y)=(3,4)$

Với $k=7$ thì không thỏa

Với $k=8$ thì Kết hợp với $(*)$ tìm được $ab=9$ từ đó tìm được $(x,y)=(4,5)$

 

Thử lại các giá trị trên và kết luận nghiệm

 

Phương trình có 6 nghiệm nguyên $(4,3)$ $(-4,3)$ $(4,5)$ $(-4,5) $ $(1,0)$ $(-1,0)$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Namthemaster1234: 13-01-2016 - 11:26

[I Love MC]

Một lời giải đẹp và ngắn cho bài toán .