Chủ đề này có 3 trả lời

[SuperLinh]

Bài 1: Cho $x>2014$; $y>2014$ thỏa mãn $\frac{1}{x}+\frac{1}{y}=\frac{1}{2014}$. Tính giá trị biểu thức P=$\frac{\sqrt{x+y}}{\sqrt{x-2014}+\sqrt{y-2014}}$

Bài 2: Tính GTLN của A=$\sqrt{3x-5}+\sqrt{7-3x}$

Bài 3:  Cho $x$ và $y$ là 2 số dương có tổng bằng 1. Tính GTNN của biểu thức S=$\frac{1}{x^{2}+y^{2}}+\frac{3}{4xy}$

[tranduchoanghuy]

Bài 1: $\begin{matrix}\frac{1}{x}+\frac{1}{y}=\frac{1}{2014} & (1)\end{matrix}$

$(1)\Leftrightarrow \frac{x+y}{xy}=\frac{1}{2014}\Leftrightarrow x+y= \frac{xy}{2014}$

$(1)\Leftrightarrow \frac{1}{x}-\frac{1}{2014}=\frac{-1}{y}\Leftrightarrow \frac{2014-x}{2014x}=\frac{-1}{y}\Leftrightarrow x-2014=\frac{2014x}{y}$

Tương tự ta được: $(1)\Leftrightarrow y-2014=\frac{2014y}{x}$

Thế tất cả các kết quả trên vào P rồi quy đồng, rút gọn ta được $P=\frac{1}{2014^{2}}$

 

Bài 2: $A=1\sqrt{3x-5}+1\sqrt{7-3x}\leq \frac{3x-5+1}{2}+\frac{7-3x+1}{2}=2$

Dấu "=" xảy ra $\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}3x-5=1\\ 7-3x=1\end{matrix}\right.\Leftrightarrow x=2$

 

Bài 3: $x^{2}+y^{2}=(x+y)^{2}-2xy=1-2xy$ thế vào S ta được:

$S=\frac{1}{1-2xy}+\frac{3}{4xy}=\frac{4xy+3-6xy}{(1-2xy)4xy}=\frac{3-2xy}{(1-2xy)4xy}$

Ta lại có:

$1=(x+y)^2\geq 4xy\Leftrightarrow 2xy\leq \frac{1}{2}\Leftrightarrow 3-2xy\geq \frac{5}{2}$

$0\leq \sqrt{(1-2xy)2xy}\leq \frac{1-2xy+2xy}{2}=\frac{1}{2}\Leftrightarrow (1-2xy)2xy\leq \frac{1}{4}\Leftrightarrow (1-2xy)4xy\leq \frac{1}{2}$

Suy ra $S\geq 5$

Dấu "=" xảy ra $\Leftrightarrow x=y=\frac{1}{2}$

Mình không rành BĐT lắm nên bài 3 mình giải hơi dài, mình không nghĩ ra được cách nào ngắn hơn, thông cảm nha.

[BandBoyk15]

bài 1 kêt quả bằng 1 mà bạn

[tranduchoanghuy]

bài 1 kêt quả bằng 1 mà bạn

vậy à? mình làm vội nên không chắc, xem hướng làm thôi

 

Bài 3:  Cho $x$ và $y$ là 2 số dương có tổng bằng 1. Tính GTNN của biểu thức S=$\frac{1}{x^{2}+y^{2}}+\frac{3}{4xy}$

Mình nghĩ được cách ngắn hơn rồi này:

Áp dụng BĐT phụ này(khá đơn giản nên bạn tự c/m nhé):

$\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\geq \frac{4}{x+y}$

$S=\frac{1}{x^{2}+y^{2}}+\frac{1}{2xy}+\frac{1}{4xy}\geq \frac{4}{(x+y)^{2}}+\frac{1}{4xy}=4+\frac{1}{4xy}\geq 4+\frac{1}{(x+y)^{2}}=5$