Chủ đề này có 132 trả lời

[phan ky anh]

$(a-b+c)(a-b+c)=a^2-ab+ac-ba+b^2-bc+ac-bc+c^2=a^2+b^2+c^2-2ab-2bc+2ac$

_______

Nếu ban nãy bạn bảo hai hđt giống nhau thì thay số vào được lợi ích gì?

đat a=5;b=6;c=7 ta có $(5+6-7)^{2}=(7-5-6)^{2} => 4^{2}=(-4)^{2} => (a+b-c)^{2}=(c-a-b)^{2}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi phan ky anh: 30-10-2014 - 20:38

[phan ky anh]

đat a=5;b=6;c=7 ta có $(5+6-7)^{2}=(7-5-6)^{2} => 4^{2}=(-4)^{2} => (a+b-c)^{2}=(c-a-b)^{2}$

$(a-b-c)^{2}$ va $(c-a-b)^{2}$ co dang giong nhau

=>$(a-b-c)^{2}$ va $(a+b-c)^{2}$ cung co dang giong nhau

vì$(c-a-b)^{2}=(a+b-c)^{2}$

[MyMy ZinDy]

chứng minh rất dễ bạn à

(ab+bc+ca)(a+b+c) -abc =(a+b)(b+c)(c+a)

[duyanh782014]

$a^3(c-b^2)+b^3(c-a^2)+c^3(a-b^2)+abc(abc-1)=(a^2-b)(b^2-c)(c^2-a)$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi HappyLife: 03-12-2015 - 22:33

[kennyduc]

Giai thừa bạn

 

Ngoài những hằng đẳng thức cơ bản trong sgk, còn có những hằng đẳng thức hay được sử dụng trong các bài toán như sau:

(1) $(a + b + c)^2 = a^2 + b^2 + c^2 + 2ab + 2bc + 2ac$


(2) $(a + b - c)^2 = a^2 + b^2 + c^2 + 2ab - 2bc - 2ac$


(3) $(a - b - c)^2 = a^2 + b^2 + c^2 - 2ab - 2ac + 2bc$


(4) $a^3 + b^3 = (a+b)^3 - 3ab(a + b)$


(5) $a^3 - b^3 = (a - b)^3 + 3ab(a - b)$


(6) $ (a + b + c)^3 = a^3 + b^3 + c^3 + 3(a+b)(b+c)(c+a)$


(7) $ a^3 + b^3 + c^3 - 3abc = (a + b + c)(a^2 + b^2 + c^2 - ab - bc - ac)$


(8) $(a - b)^3 + (b - c)^3 + (c - a)^3 = 3(a - b)(b - c)(c - a)$


(9) $(a + b)(b + c)(c + a) - 8abc = a(b - c)^2 + b(c - a)^2 + c(a - b)^2$


(10) $ (a + b)(b+c)(c+a) = (a+b+c)(ab+bc+ca)-abc$


(11) $ ab^2+bc^2+ca^2 - a^2b - b^2c - c^2a = \dfrac{(a-b)^3+(b-c)^3+(c-a)^3}{3} $


(12)$ ab^3+bc^3+ca^3 - a^3b-b^3c-c^3a = \dfrac{(a+b+c)[(a-b)^3+(b-c)^3+(c-a)^3]}{3}$


(13) $a^n - b^n = (a - b)(a^{n - 1} + a^{n - 2}b + a^{n - 3}b^2 + ... + a^2b^{n - 3} + ab^{n - 2} + b^{n - 1} )$


(14) Với n lẻ:
$a^n + b^n = (a + b)(a^{n - 1} - a^{n - 2}b + a^{n - 3}b^2 - ... + a^2b^{n - 3} - ab^{n - 2} + b^{n - 1})$


(15) Nhị thức Newton:
$(a + b)^n = a^n + \dfrac{n!}{(n-1)!1!} a^{n - 1}b + \dfrac{n!}{(n-2)!2!}a^{n - 2}b^2 + ... + \dfrac{n!}{(n-k)!k!}a^{n - k}b^k+ ... + \dfrac{n!}{2!(n-2)!}a^2b^{n - 2}+\dfrac{n)!}{1!(n - 1)!}ab^{n - 1} + b^n$


Các bạn hãy cố gắng chứng minh các hằng đẳng thức từ (1) -> (12) xem như là bài tập
Ai có hằng đẳng thức nào thú vị, post lên mình sẽ thêm vào.

 

c/m dùm e cái số 7 vs ạ :*

[MyMy ZinDy]

c/m dùm e cái số 7 vs ạ :*

 $a^{3} + b^{3} +c^{3}-3abc 

= a^{3} +3a^{2}b +3ab^{2} + b^{3} +c^{3} - 3a^{2}b - 3ab^{2} - 3abc 

= (a+b)^{3} +c^{3} -3ab(a+b+c) = (a+b+c)\left \lfloor (a+b)^{2}-c(a+b) + c^{2} \right \rfloor -3ab(a+b+c) 

= (a+b+c)(a^{2}+2ab+b^{2}-ac-bc+c^{2}-3ab) 

= (a+b+c)(a^{2}b^{2}+c^{2}-ab-bc-ca) (đpcm)$ 

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi MyMy ZinDy: 25-02-2015 - 22:11

[huykinhcan99]

Lúc nãy ngồi lục lại mấy cuốn sách cũ thì thấy được bài toán sau:
Bài toán: Với mọi số nguyên $n\geq 1$ thì ta có:$\sqrt{\sum_{1}^{n}n^3}=\sum_{1}^{n}n$ (ghi như bình thường là:\sqrt{1^3+2^3+3^3+...+n^3}=1+2+3+...+n).

 

Spoiler

Chưa chứng minh nên chưa biết có bị sai đến đoạn nào không   và trùng hay sai thì đừng gạch nhé   

Ta có:$x^{3}=\left [ \frac{x(x+1)}{2}\right ]^{2}-\left [ \frac{(x-1)x}{2} \right ]^{2}$
Áp dụng đẳng thức trên ta được:
$\sqrt{1^{3}+2^{3}+...+n^{3}}=\sqrt{\left ( \frac{1.2}{2} \right )^{2}-\left ( \frac{0.1}{2} \right )^{2}+\left ( \frac{2.3}{2}^{2} \right )-\left ( \frac{1.2}{2} \right )^{2}+\left [ \frac{n(n+1)}{2} \right ]^{2}-\left [ \frac{n(n-1)}{2} \right ]^{2}}$=
$\sqrt{\left [ \frac{n(n+1)}{2} \right ]^{2}}=\frac{n(n+1)}{2}$(1)
Lại có:1+2+3+...+n=$\frac{n(n+1)}{2}$(2)
Từ (1) (2) suy ra đpcm

 

 
Ta còn có cách quy nạp khá hay như sau:

 

Đầu tiên, ta có đẳng thức cần chứng minh tương đương với:

\begin{equation} \tag{I} \label{eq:I} \left \lbrace \begin{array}{l} 1^3+2^3+\ldots+n^3=(1+2+\ldots+n)^2=S_n \\ 1+2+\ldots +n\geqslant 0 \text{ (vì $n\geqslant 1$ nên luôn thỏa mãn)} \end{array} \right.$ \end{equation}

Hiển nhiên với $n=1$, đẳng thức \eqref{eq:I} đúng ($1^3=1^2$)

 

Giả sử với $n=k \ \left(k \in \mathbb{N} \right)$, đẳng thức \eqref{eq:I} đúng, tức là ta có:

\begin{equation} \label{eq:1} 1^3+2^3+\ldots+k^3=(1+2+\ldots+k)^2 \end{equation}

 

Theo nguyên lý quy nạp, để kết thúc bài toán ta cần chứng minh đẳng thức \eqref{eq:I} cũng đúng với $n=k+1$, hay là

\begin{align} & 1^3+2^3+3^3+\ldots+k^3+(k+1)^3=(1+2+3+\ldots+k+k+1)^2 \nonumber \\ \Leftrightarrow \ & 1^3+2^3+3^3+\ldots+k^3+(k+1)^3=(1+2+\ldots+k)^2+(k+1)^2+2(1+2+\ldots+k)(k+1) \nonumber \\ \Leftrightarrow \ &(k+1)^3=(k+1)^2+2(1+2+\ldots+k)(k+1) \text{ (theo \eqref{eq:1} (giả thiết quy nạp))} \nonumber \\ \Leftrightarrow \ &(k+1)^2k-2(1+2+\ldots+k)(k+1)=0 \nonumber \\ \label{eq:2} \Leftrightarrow \ &(k+1)\left[(k+1)k-2(1+2+\ldots+k)\right]=0 \end{align}

 

Xét với $k$ chẵn thì 

\begin{align} 1+2+\ldots+k&=\underbrace{(1+k)+\left[2+\left(k-1\right)\right]+\ldots+\left[\dfrac{k}{2}+\left(\dfrac{k}{2}+1\right)\right]}_{\dfrac{k}{2} \text{ cặp}} \nonumber \\ \label{eq:3} &=\dfrac{k(k+1)}{2}\end{align}

 

Xét với $k$ lẻ thì $k-1$ sẽ chẵn, khi đó

\begin{align} 1+2+\ldots+(k-1)+k&=\underbrace{\left[1+(k-1)\right]+\left[2+\left(k-2\right)\right]+\ldots+\left[\dfrac{k-1}{2}+\left(\dfrac{k-1}{2}+1\right)\right]}_{\dfrac{k-1}{2} \text{ cặp}} +k \nonumber \\ &= \dfrac{k(k-1)}{2}+k \nonumber \\ &=k\left(\dfrac{k-1}{2}+1\right) \nonumber \\ \label{eq:4} &=\dfrac{k(k+1)}{2}\end{align}

 

$$\eqref{eq:3},\eqref{eq:4} \Rightarrow 1+2+\ldots+k=\dfrac{k(k+1)}{2}$$

 

Thế vào \eqref{eq:2} ta được:

\begin{align} & (k+1)\left[\left(k+1\right)k-2.\dfrac{k\left(k+1\right)}{2}\right]=0 \nonumber \\ \Leftrightarrow \ & (k+1).0=0 \quad \text{ (luôn đúng)} \end{align}

 

Vậy bài toán được chứng minh xong.

 

Spoiler

Bài này chứng minh được từ thời lớp 9, giờ xem lại hoài niệm quá

[chibiwonder]

cho hỏi làm sao viết /latex vậy ? ( hỏi ngu đừng chửi )

[huonggiangpsmkm]

1. tổng của 2 lập phương 

a^3+b^3= (a+b).(a^2-a.b+b^2)

Ta có : a^2 - a.b + b^2 là bình phương thiếu của 1 hiệu

[Bonjour]

Mình xin góp đẳng thức sau: 
       $A=1-\frac{1}{t+1}-\frac{1}{s+1}-\frac{1}{r+1}+\frac{1}{(t+1)(st+s+1)}+\frac{1}{(r+1)(tr+t+1)}+\frac{1}{(s+1)(sr+r+1)}$

          $=\frac{(srt-1)^2}{(st+s+1)(rs+r+1)(tr+t+1)}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Bonjour: 31-07-2015 - 16:18

[ngocanhnguyen10]

c/m dùm e cái số 7 vs ạ :*

$VP=a^{3}+ab^{2}+ac^{2}-a^{2}b-abc-a^{2}c+ba^{2}+b^{3}+bc^{2}-ab^{2}-b^{2}c-abc+ca^{2}+cb^{2}+c^{3}-abc-bc^{2}-ac^{2}=a^{3}+b^{3}+c^{3}-3abc=VT$ (đpcm)

Phá ngoặc ra là dễ nhất   

[tpdtthltvp]

$a^3+b^3+c^3-3abc=(a+b)^3-3ab(a+b)+c^3-3abc=(a+b+c)[(a+b)^2-(a+b)c+c^2]-3ab(a+b+c)=(a+b+c)(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca)$

[huykietbs]

Ngoài những hằng đẳng thức cơ bản trong sgk, còn có những hằng đẳng thức hay được sử dụng trong các bài toán như sau:

(1) $(a + b + c)^2 = a^2 + b^2 + c^2 + 2ab + 2bc + 2ac$


(2) $(a + b - c)^2 = a^2 + b^2 + c^2 + 2ab - 2bc - 2ac$


(3) $(a - b - c)^2 = a^2 + b^2 + c^2 - 2ab - 2ac + 2bc$


(4) $a^3 + b^3 = (a+b)^3 - 3ab(a + b)$


(5) $a^3 - b^3 = (a - b)^3 + 3ab(a - b)$


(6) $ (a + b + c)^3 = a^3 + b^3 + c^3 + 3(a+b)(b+c)(c+a)$


(7) $ a^3 + b^3 + c^3 - 3abc = (a + b + c)(a^2 + b^2 + c^2 - ab - bc - ac)$


(8) $(a - b)^3 + (b - c)^3 + (c - a)^3 = 3(a - b)(b - c)(c - a)$


(9) $(a + b)(b + c)(c + a) - 8abc = a(b - c)^2 + b(c - a)^2 + c(a - b)^2$


(10) $ (a + b)(b+c)(c+a) = (a+b+c)(ab+bc+ca)-abc$


(11) $ ab^2+bc^2+ca^2 - a^2b - b^2c - c^2a = \dfrac{(a-b)^3+(b-c)^3+(c-a)^3}{3} $


(12)$ ab^3+bc^3+ca^3 - a^3b-b^3c-c^3a = \dfrac{(a+b+c)[(a-b)^3+(b-c)^3+(c-a)^3]}{3}$


(13) $a^n - b^n = (a - b)(a^{n - 1} + a^{n - 2}b + a^{n - 3}b^2 + ... + a^2b^{n - 3} + ab^{n - 2} + b^{n - 1} )$


(14) Với n lẻ:
$a^n + b^n = (a + b)(a^{n - 1} - a^{n - 2}b + a^{n - 3}b^2 - ... + a^2b^{n - 3} - ab^{n - 2} + b^{n - 1})$


(15) Nhị thức Newton:
$(a + b)^n = a^n + \dfrac{n!}{(n-1)!1!} a^{n - 1}b + \dfrac{n!}{(n-2)!2!}a^{n - 2}b^2 + ... + \dfrac{n!}{(n-k)!k!}a^{n - k}b^k+ ... + \dfrac{n!}{2!(n-2)!}a^2b^{n - 2}+\dfrac{n)!}{1!(n - 1)!}ab^{n - 1} + b^n$


Các bạn hãy cố gắng chứng minh các hằng đẳng thức từ (1) -> (12) xem như là bài tập
Ai có hằng đẳng thức nào thú vị, post lên mình sẽ thêm vào

[2ktung]

bài 1: tìm số nguyên dương n để 2n+2003 và 3n+2005 đều là số chính phương

Bài 2: cho các số không âm x,y,z thỏa mãn: 4x+y+2z=4 và 3x+6y-2z=6 tìm GTLN, GTNN của M= 5x-6y+7z

[FC Olympia]

Hình như cái này không phải là hằng đẳng thức nhỉ:
$x^{n}-1=(x-1)(x^{n-1}+x^{n-2}+x^{n-3}...+x+1)$

Đó là đẳng thức nhỏ của hằng đẳng thức sau:

aⁿ -bⁿ=(a-b)(a^n-1 +a^n-2b + a^n-3b²+...............ab^n-2+b^n-1) với n thuộc N và n lẻ

[Hagoromo]

$(a+b+c)^2=(a+b+c)(a+b+c)$

               $=a^2+ab+ac+b^2+ab+bc+c^2+ca+bc$

              $=a^2+b^2+c^2+2(ab+bc+ca)$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi tpdtthltvp: 20-07-2016 - 18:59

[Air Force]

Ngoài những hằng đẳng thức cơ bản trong sgk, còn có những hằng đẳng thức hay được sử dụng trong các bài toán như sau:

(1) $(a + b + c)^2 = a^2 + b^2 + c^2 + 2ab + 2bc + 2ac$


(2) $(a + b - c)^2 = a^2 + b^2 + c^2 + 2ab - 2bc - 2ac$


(3) $(a - b - c)^2 = a^2 + b^2 + c^2 - 2ab - 2ac + 2bc$


(4) $a^3 + b^3 = (a+b)^3 - 3ab(a + b)$


(5) $a^3 - b^3 = (a - b)^3 + 3ab(a - b)$


(6) $ (a + b + c)^3 = a^3 + b^3 + c^3 + 3(a+b)(b+c)(c+a)$


(7) $ a^3 + b^3 + c^3 - 3abc = (a + b + c)(a^2 + b^2 + c^2 - ab - bc - ac)$ 


(8) $(a - b)^3 + (b - c)^3 + (c - a)^3 = 3(a - b)(b - c)(c - a)$


(9) $(a + b)(b + c)(c + a) - 8abc = a(b - c)^2 + b(c - a)^2 + c(a - b)^2$


(10) $ (a + b)(b+c)(c+a) = (a+b+c)(ab+bc+ca)-abc$


(11) $ ab^2+bc^2+ca^2 - a^2b - b^2c - c^2a = \dfrac{(a-b)^3+(b-c)^3+(c-a)^3}{3} $


(12)$ ab^3+bc^3+ca^3 - a^3b-b^3c-c^3a = \dfrac{(a+b+c)[(a-b)^3+(b-c)^3+(c-a)^3]}{3}$


(13) $a^n - b^n = (a - b)(a^{n - 1} + a^{n - 2}b + a^{n - 3}b^2 + ... + a^2b^{n - 3} + ab^{n - 2} + b^{n - 1} )$


(14) Với n lẻ: 
$a^n + b^n = (a + b)(a^{n - 1} - a^{n - 2}b + a^{n - 3}b^2 - ... + a^2b^{n - 3} - ab^{n - 2} + b^{n - 1})$ 


(15) Nhị thức Newton: 
$(a + b)^n = a^n + \dfrac{n!}{(n-1)!1!} a^{n - 1}b + \dfrac{n!}{(n-2)!2!}a^{n - 2}b^2 + ... + \dfrac{n!}{(n-k)!k!}a^{n - k}b^k+ ... + \dfrac{n!}{2!(n-2)!}a^2b^{n - 2}+\dfrac{n)!}{1!(n - 1)!}ab^{n - 1} + b^n$                                                                  

[khoailangne]

Em cũng xin được góp vài hđt
1+(1+2)+(1+2+3)+...+(1+2+3+...+n) = n(n+1)(n+2)/6

1*2+2*3+...+n*(n+1)= n(n+1)(n+2)/3

1^2+2^2+3^2+...+n^2 = n(n+1)(2n+1)/6

(1+2+3+...+n)^2 = 1^3+2^3+3^3+...+n^3

1+2+3+...+n+...+3+2+1 = n^2

1/[n(n+x)(n+2x)...(n+ax)] = 1/ax.{ 1/n(n+x)(n+2x)...[n+(a-1)x] - 1/(n+x)(n+2x)...(n+ax)}

a+a^2+a^3+...+ a^n = a^(n+1)-a / a-1

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi khoailangne: 11-09-2016 - 20:24

[thanhdung94]

Có vài cái HĐT các bạn làm sai thì phải?

Mình áp dụng vào nhưng không được

[LinhToan]

cho em hỏi với mấy bác ơi
trong cái nhị thứ niuton (!) là cái gì vậy

trên mạng và trong sách phát triển đều có hết mà bạn , bạn xem được mà!!!~