Chủ đề này có 8 trả lời

[dmthanh]

Hom qua vãn bối doc cuốn sách "Topo la gi?" cua Hoàng Xuân Sính thấy có định lý Định lý Weierstrass : Tập các ánh xạ đa thức từ [a,b] đến R^n là tập con trù mật trong không gian mêtric C([a,b],R^n). Định lý này có ý nghĩa rất lớn, ví dụ:Ta luôn có thể xấp xĩ 1 hàm khả vi lớp C vô cùng bằng 1 hàm đa thức, cơ sở cho việc khai triển Taylor (một cách xấp xỉ bằng hàm đa thức).
Thật ra nếu nhìn dưới gốc độ đại số tuyến tính thì Khai triển Taylor là cách biểu diễn tuyến tính 1 hàm khả vi lớp C vô cùng theo cơ sở của không gian các hàm lớp C vô cùng, và biểu diễn này là duy nhất . Cơ sở của nó là 1, x-a, (x-a)^2,....
Nhưng cơ sở này không trực giao. Một khai triển khác là khai triển Fourier cũng là biểu diễn q hàm thông qua 1 cơ sở khác là các hàm lượng giác, cơ sở này là trực giao.
Câu hỏi đặt ra: Q là tập trù mật trong R, vậy liệu Tập các ánh xạ đa thức từ [a,b] đến R^n có hệ số hữu tỉ có trù mật trong không gian mêtric C([a,b],R^n) hay không?
Cau 2: Khai trien Taylor có thẻ khai triển đối với hàm đa biến, nhưng tui chưa gạp trường hợp khai triển Fourier đối với hàm đa biến lần nào (có thể tầm nhìn còn hạn chế)
Có ai giải đáp giùm vãn bối không?

[vinhspiderman]

Theo mình thì thông thường người ta chỉ phát biểu định lý này trong không gian C[a,b] tức là không gian các hàm thực liên tục trên đoạn [a,b] còn các hàm liên tục trên [a,b] lấy giá trị trong R^n chẳng qua chỉ suy ra đơn giản từ trường hợp hàm thực,mà các hàm ấy thường không được quan tâm lắm như trường hợp hàm hàm thực đâu.Cho nên chẳng cần phải xét các hàm [a,b]-->R^n mà cơ bản là xét [a,b]-->R.

Trả lời cho câu hỏi thứ nhất :
Không gian các đa thức có hệ số hữu tỉ là trù mật trong C[a,b].Thật vậy,với mỗi hàm f in C[a,b],tồn tại dãy đa thức pn hội tụ đều về f (theo chuẩn sup|f-pn|).Với mỗi n lại tồn tại đa thức qn có hệ số hữu tỉ sao cho sup|qn-pn|<1/2^n (do Q trù mật trong R).Suy ra với e tùy ý và n đủ lớn sẽ có : sup|qn-f| <= sup|qn-pn|+sup|pn-f| < 1/2^n+1/2^n <e.

Về điều bạn nói : định lý W là cơ sở cho việc khai triển Taylor,mình không đồng ý lắm.Vì ý của định lý W là dãy đa thức đó hội tụ đều về f,còn ý tưởng ban đầu của khai triển Taylor là xấp xỉ địa phương của một hàm đủ tốt.Mặc dù dãy đa thức trong khai triển Taylor cuối cùng cũng hội tụ đều về hàm f (nghĩa là hôi tụ về f trong C[a,b]) nhưng đó là vì tính sau khi đã có khai triển,nhờ tính compact của đoạn và tính liên tục của các đạo hàm cấp cao của f nên mới suy ra được như vậy.

Định lý W có ý nghĩa lớn về mặt lý thuyết nhưng lại không cho chúng ta rõ hình dạng mắt mũi của dãy đa thức đó như thế nào!Trong giải tích số người ta đã có một cách làm rất hay là muốn xấp xỉ đều một hàm bởi một đa thức trong một đoạn,người ta dùng nội suy Lagrange để có đa thức đi qua n điểm trên đồ thị của hàm f rồi đánh giá độ sai số thông qua sup đạo hàm cấp cao của f.Khi đó nếu n càng lớn thì xấp xỉ càng đều.

[tnk]

Stone- Weirstrass theorem:

Let K be a compact space and let A be an algebra of real-valued functions on K that separates the points of K. Then B is uniform closure of A, is either $C^{R}(K)$ or the algebra of all real-valued continuous functions vanishing at a single points $x \in K$

[LHTung]

Cau 2: Khai trien Taylor có thẻ khai triển đối với hàm đa biến, nhưng tui chưa gạp trường hợp khai triển Fourier đối với hàm đa biến lần nào (có thể tầm nhìn còn hạn chế)
Có ai giải đáp giùm vãn bối không?

Mình cũng rất dốt nên chỉ biết là khai triển Fourier cho hàm nhiều biến được dùng để giải phương trình chuyền nhiệt nhiều chiều .

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi LHTung: 18-06-2005 - 21:45

[TieuSonTrangSi]

Tôi không có tất cả những câu trả lời cho dmthanh, nhưng xin có vài lời bình luận về bài của bạn.

cơ sở cho việc khai triển Taylor

Như bạn vinhspiderman nói, xấp xỉ bằng đa thức là một chuyện, khai triển Taylor là một chuyện khác. Có phản ví dụ sau thường được đưa ra : trên [-1,1], xét hàm

http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?f(x)=\exp\(-\dfrac{1}{x^2}\) nếu http://dientuvietnam...mimetex.cgi?f(0)=0.

Hàm này khả vi http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?C^\infty&#091;-1,1], nên ta có thể áp dụng Weierstrass. Tuy nhiên, tại điểm http://dientuvietnam...mimetex.cgi?x=0, ta có http://dientuvietnam...metex.cgi?f^{(n)}(0)=0, nên chuỗi Taylor tại ấy luôn có tổng bằng 0.

Cơ sở của nó là 1, x-a, (x-a)^2,.... Nhưng cơ sở này không trực giao

Không gian metric http://dientuvietnam...cgi?C&#091;a,b] trong định lý Weierstrass phải được hiểu là có định chuẩn "hội tụ đều" (uniform convergence), tức là

http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?L^2&#091;a,b]...

nhưng tui chưa gạp trường hợp khai triển Fourier đối với hàm đa biến lần nào

Có thể định nghĩa chuỗi Fourier cho 2 biến

http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?c_{mn}=\dfrac{1}{4\pi^2}\int\limits_0^{2\pi}\int\limits_0^{2\pi}f(x,y)\exp&#091;-i(mx+ny)]\,dx\,dy

Có định lý Parseval. Nhưng tiêu chuẩn hội tụ (convergence criterion) địa phương phức tạp hơn trường hợp 1 biến : chẳng hạn,

bị chặn, tồn tại.

[Doraemon]

Mạn phép bàn thêm:
Vì chính định lý đó của Weierstrass mà chúng ta có thể một phần thấy được tầm quan trọng và vai trò trung tâm của hình học đại số đối với toán học như thế nào.
Từ đối tượng là các hàm khả vi, không biết được mặt mũi ra sao, ta chuyển đối tượng nghiên cứu về lớp các đa thức. Nơi đó, ta có thể thấy được "dạng" của các đa thức là như thế nào, cụ thể là về bậc hay về số đơn thức trong nó, các hàm khả vi không thấy rõ được điều này.
Hey, giá như cụ Weierstrass nghĩ sâu hơn xem cái đa thức ta xấp xỉ mặt mũi nó như thế nào nhỉ ? Không biết sau cụ đã có ai nghĩ chưa ?

[hoadaica]

[quote name='tnk' date='Jun 18 2005, 02:28 PM']Stone- Weirstrass theorem:

Let K be a compact space and let A be an algebra of real-valued functions on K that separates the points of K. Then B is uniform closure of A, is either http://dientuvietnam...tex.cgi?C^{R}(K)  or the algebra of all real-valued continuous functions vanishing at a single points http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?\Omega la tap compact, B la subalgebra cua C*-algebra http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?C(\Omega) thoa man cac dieu kien sau:
1. http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?\omega, nghia la neu http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?C(\Omega).

[dmthanh]

Vãn bối xin tâm phục, khẩu phục. Mấy bữa nay vãn bối đọc sách tình cờ có ý nghĩ gì là đưa lên mạng ngay, nên chưa suy nghĩ thấu đáo. Luôn tiện nhờ mấy đại ca trả lời giúp định lý điểm bất động Brouwer: hiện nay người ta đã nghiên cứu định lý này tới mức độ nào? chẳng hạn đã xấp xĩ (theo 1 phương pháp nào đó) điểm bất động này chưa? Hoặc xấp xĩ điểm bất động trong những hàm liên tục đặc biệt?
Vì vãn bối có ý định đưa nó vào nghiên cứu vật lý địa cầu, ngành địa chất học. Vấn đề là làm cách nào tìm ra những khu vực ít bị xáo trộn nhất trên trái đất để nghiên cứu các tầng địa chất, ...

[TieuSonTrangSi]

Hey, giá như cụ Weierstrass nghĩ sâu hơn xem cái đa thức ta xấp xỉ mặt mũi nó như thế nào nhỉ ? Không biết sau cụ đã có ai nghĩ chưa ?

Theo tôi nhớ thì một cách chứng minh định lý Weierstrass là sử dụng đa thức Bernstein. Cho http://dientuvietnam...n/mimetex.cgi?n là

http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?\lim\limits_{n\rightarrow\infty}\left\|f-B_n&#091;f]\right\|_{\infty}=0

Nhưng chắc Bernstein không phải là mặt mũi duy nhất của các đa thức xấp xỉ.