ĐỀ THI CHỌN ĐỘI TUYỂN KHTN
(VÒNG 1)
Ngày 1:
Bài 1:Giải hệ phương trình
$6(x + y)(xy + \dfrac{1}{xy} + 2) = (2x^2 + 3y^2)(1 + \dfrac{1}{xy})$
$29(xy + \dfrac{1}{xy}) + 62 = (9x + 13y)(1 + \dfrac{1}{xy})$
Bài 2:
Giải phương trình nghiệm nguyên dương $x^3+y^3+z^3=tx^2y^2z^2$
Bài 3:
Cho tam giác ABC, đường tròn nội tiếp tiếp xúc 3 cạnh tại $A_1, B_1, C_1$, đường trong bàng tiếp tiếp xúc tại $A_2, B_2, C_2$. CM: trọng tâm tam giác $ABC, A_1B_1C_1, A_2B_2C_2$ thẳng hàng
Bài 4:
Tìm tất cả các hàm số $f: R \rightarrow R$ thỏa mãn
$ f(x^2) = f^2(x)$ và $f(x + 1) = f(x) + 1$
Bài 4 có vẻ khó xơi nhất.
2. Không mất tính tổng quát, giả sử $x \leq y \leq z$. Khi đó: $z = tx^{2}y^{2} - \dfrac{x^{3} + y^{3}}{x^{2}} \geq tx^{2}y^{2} - (x + y)$
Ta có: $(x^{3} + y^{3}) \vdots z^{2}$ nên $x^{3} + y^{3} \geq z^{2} \geq (tx^{2}y^{2} - (x + y))^{2} \Rightarrow t^{2}x^{4}y^{4} < 2tx^{2}y^{2}(x + y) + x^{3} + y^{3} \Leftrightarrow txy < (\dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{y}) + \dfrac{1}{tx^{3}} + \dfrac{1}{ty^{3}}$
Nếu $x \geq 2$ thì do $y \geq z$, vế trái $\geq 4$, trong khi vế phải $ \leq 3 \Rightarrow x= 1$.
Thay $x = 1$ vào, ta có: $ty < 2 + \dfrac{2}{y} + \dfrac{1}{t} + \dfrac{1}{ty^{3}} \Rightarrow y \leq 3$
Mà $x^{3} + y^{3} = 1 + y^{3} \vdots z^{2}$ và $z \geq y$ nên: $y = 1 \Rightarrow z = 1 ; y = 2 \Rightarrow z = 3 ; y = 3$ (không tồn tại $z$).
Vậy $t = 3$ pt có nghiệm $(1,1,1)$, $t = 1$ pt có nghiệm $(1,2,3)$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Pirates: 25-10-2009 - 17:03