Đến nội dung

Hình ảnh

Chứng minh $$\sin x < x,\forall x > 0$$


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 13 trả lời

#1
Võ Duy Văn

Võ Duy Văn

    Binh nhì

  • Thành viên
  • 12 Bài viết
Đề là chứng minh sinx < x với mọi x > 0.
Đặt f(x) = sinx -x
Rõ ràng ta cần xét chiều biến thiên của hàm số trên (0, $+\infty$ ) nhưng hướng dẫn là xét chiều biến thiên trên
$(0;\dfrac{ \pi }{2}) $
Thứ 2 là f'(x) = cosx -1 $\leq $ 0 thì làm sao suy ra được f(x) nghịch biến vì điều kiện là f(x) $\leq 0$ và f(x) =0 tại 1 hữu hạn điểm thuộc tập đang xét.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Võ Duy Văn: 13-08-2010 - 16:54


#2
novae

novae

    Chán học.

  • Thành viên
  • 433 Bài viết
1) chỉ cần xét chiều biến thiên trên $\left( 0;\dfrac{\pi}{2} \right)$, suy ra $x>\sin x$ trên $\left( 0;\dfrac{\pi}{2} \right)$
còn trên $\left[ \dfrac{\pi}{2};\infty \right)$ thì $x>1\geq \sin x$
2) hiển nhiên $f'(x)=\cos x-1$ thỏa mãn $f'(x)\leq 0$ và $f'(x)=0$ tại hữu hạn điểm

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi novae: 13-08-2010 - 09:51

KEEP MOVING FORWARD

#3
inhtoan

inhtoan

    <^_^)

  • Thành viên
  • 964 Bài viết

1) chỉ cần xét chiều biến thiên trên $\left( 0;\dfrac{\pi}{2} \right)$, suy ra $x>\sin x$ trên $\left( 0;\dfrac{\pi}{2} \right)$
còn trên $\left[ \dfrac{\pi}{2};\infty \right)$ thì $x>1\geq \sin x$
2) hiển nhiên $f'(x)=\cos x-1$ thỏa mãn $f'(x)\leq 0$ và $f'(x)=0$ tại hữu hạn điểm

Theo mình bước 1 nếu xét đạo hàm trên khoảng $(0; +\infty) $ cũng được nhưng có lẽ tác giả cuốn sách đấy muốn dùng định lí "Giả sử $f(x) $ có đạo hàm trên khoảng I, nếu $f'(x) \geq 0 $ với mọi $x \in I$ và $f'(x)=0$ chỉ tại một số hữu hạn điểm của I thì hàm số đồng biến trên I" cho bước 2 nên đã giới hạn khoảng $(0;+ \infty)$ thành khoảng $(0; \dfrac{\pi}{2})$.

Còn đây là cách giải theo cách xét đạo hàm trên khoảng $(0;+ \infty)$.

Xét hàm số $f(x)= sinx-x$ trên nửa khoảng $[0; +\infty)$, ta có$f'(x)=cosx-1 \leq 0, \forall x \in (0; +\infty)$ ,
Và $f'(x)=0 \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} \cos x = 1 \\ x > 0 \\ \end{matrix} \right.$
$ \Leftrightarrow x = 2k\pi ,\,\,k \in N^* $.
Vì $f(x)$ liên tục trên mỗi đoạn $\left[ {2k\pi ;2(k + 1)\pi } \right]$, $k\in N^*$ và $f'(x) >0 $ với mọi x thuộc khoảng $\left( {2k\pi ;2(k + 1)\pi } \right)$, $k \in N^*$ nên $f(x)$ đồng biến trên mỗi đoạn $\left[ {2k\pi ;2(k + 1)\pi } \right]$, $k \in N^*$. Do đó hàm số đồng biên trên $[0; +\infty)$. Khi đó, ta có $f(x) > f(0) =0 $ với mọi $x >0.$

#4
inhtoan

inhtoan

    <^_^)

  • Thành viên
  • 964 Bài viết
Còn đây là thắc mắc của mình...Có một bài toán như sau: Chứng minh bất đẳng thức $sinx>x-\dfrac{x^3}{6}$ với mọi $x>0$.
Lời giải trong sách là

Xét hàm $f(x)=sinx-x+\dfrac{x^3}{6}$ trên nửa khoảng $[0; +\infty)$. Ta có
$f'(x)=cosx-1+\dfrac{x^2}{2}=\dfrac{1}{2}(x^2-4sin^2\dfrac{x}{2})>0$ với mọi $x \in (0; \dfrac{\pi}{2})$ vì khi đó $\dfrac{x}{2} > sin\dfrac{x}{2}$.


Vậy tại sao từ $f'(x) > 0$ với mọi $x \in (0; \dfrac{\pi}{2})$ ta lại có thể kết luận $ f(x)$ đồng biến trên nửa khoảng $ [0;+ \infty) $ ?

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi inhtoan: 13-08-2010 - 10:51


#5
novae

novae

    Chán học.

  • Thành viên
  • 433 Bài viết
bài này nên xét đến $f''(x)=x-\sin x \geq 0$, suy ra $f'(x)$ đồng biến, suy ra.......
KEEP MOVING FORWARD

#6
inhtoan

inhtoan

    <^_^)

  • Thành viên
  • 964 Bài viết

bài này nên xét đến $f''(x)=x-\sin x \geq 0$, suy ra $f'(x)$ đồng biến, suy ra.......

Cách làm của mình cũng giống cách của bạn ( xét tính đơn điệu của $f'(x)$ trên nửa khoảng $[0;+ \infty)$) . Nhưng ở đây mình đang thắc mắc là lời giải trong sách đúng hay sai ?

#7
novae

novae

    Chán học.

  • Thành viên
  • 433 Bài viết
chắc là áp dụng $x>\sin x$ $\forall x\geq0$
KEEP MOVING FORWARD

#8
inhtoan

inhtoan

    <^_^)

  • Thành viên
  • 964 Bài viết

chắc là áp dụng $x>\sin x$ $\forall x\geq0$

Có thể chứng minh được bất đẳng thức tổng quát hơn là $\dfrac{sin\alpha x}{x} < \alpha$ với $\alpha >0, x>0$.
Như vậy $sin\dfrac{x}{2} <\dfrac{x}{2}$ là trưởng hợp riêng khi $\alpha =\dfrac{1}{2}$ của bất đẳng thức trên. Với $sin\dfrac{x}{2} <\dfrac{x}{2}$, $ x \in (0;\dfrac{\pi}{2})$ thì lập luận $f'(x) > 0$ với mọi $ x \in (0;\dfrac{\pi}{2})$ là đúng.
Nhưng còn lập luận rằng $f'(x) >0$ với mọi $ x \in (0;\dfrac{\pi}{2})$ thì $f(x)$ đồng biến trên $[0;+ \infty)$ đã đúng chưa ?

#9
canhochoi

canhochoi

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 196 Bài viết

Còn đây là thắc mắc của mình...Có một bài toán như sau: Chứng minh bất đẳng thức $sinx>x-\dfrac{x^3}{6}$ với mọi $x>0$.
Lời giải trong sách là

Xét hàm $f(x)=sinx-x+\dfrac{x^3}{6}$ trên nửa khoảng $[0; +\infty)$. Ta có
$f'(x)=cosx-1+\dfrac{x^2}{2}=\dfrac{1}{2}(x^2-4sin^2\dfrac{x}{2})>0$ với mọi $x \in (0; \dfrac{\pi}{2})$ vì khi đó $\dfrac{x}{2} > sin\dfrac{x}{2}$.
Vậy tại sao từ $f'(x) > 0$ với mọi $x \in (0; \dfrac{\pi}{2})$ ta lại có thể kết luận $ f(x)$ đồng biến trên nửa khoảng $ [0;+ \infty) $ ?



Vì thực ra xét f'(x) trên (0;pi/2) là " làm hẹp" miền của nó rồi, f'(x) >0 với mọi x >0

#10
inhtoan

inhtoan

    <^_^)

  • Thành viên
  • 964 Bài viết

Vì thực ra xét f'(x) trên (0;pi/2) là " làm hẹp" miền của nó rồi, f'(x) >0 với mọi x >0

Mình thấy chưa hợp lí lắm. :-S

#11
canhochoi

canhochoi

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 196 Bài viết

Mình thấy chưa hợp lí lắm. :)

Ko tin bạn đi chứng minh thử xem :)

#12
CD13

CD13

    Thượng úy

  • Thành viên
  • 1456 Bài viết

Xét hàm số $f(x)= sinx-x$ trên nửa khoảng $[0; +\infty)$, ta có$f'(x)=cosx-1 \leq 0, \forall x \in (0; +\infty)$ ,
Và $f'(x)=0 \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} \cos x = 1 \\ x > 0 \\ \end{matrix} \right.$
$ \Leftrightarrow x = 2k\pi ,\,\,k \in N^* $.
Vì $f(x)$ liên tục trên mỗi đoạn $\left[ {2k\pi ;2(k + 1)\pi } \right]$, $k\in N^*$ và $f'(x) >0 $

Sao f'(x) > 0 được ta?

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi ongtroi: 23-08-2010 - 15:13


#13
thuytrangg

thuytrangg

    Lính mới

  • Thành viên
  • 4 Bài viết

Vì $f(x)$ liên tục trên mỗi đoạn $\left[ {2k\pi ;2(k + 1)\pi } \right]$, $k\in N^*$ và $f'(x) >0 $ với mọi x thuộc khoảng $\left( {2k\pi ;2(k + 1)\pi } \right)$, $k \in N^*$ nên $f(x)$ đồng biến trên mỗi đoạn $\left[ {2k\pi ;2(k + 1)\pi } \right]$, $k \in N^*$. Do đó hàm số đồng biên trên $[0; +\infty)$. Khi đó, ta có $f(x) > f(0) =0 $ với mọi $x >0.$

 Anh/bạn có thể cho em/mình hỏi vì sao hàm $f(x)$ liên tục trên mỗi đoạn $\left[ {2k\pi ;2(k + 1)\pi } \right]$, $k\in N^*$  không ạ? 



#14
demon311

demon311

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 202 Bài viết

Thực ra cái ông viết sách làm cái khó mà chưa làm nốt cái dễ nên rối là phải

Với $\dfrac{ \pi}{2} > x>0$ thì

$\dfrac{ x}{2} > \sin \dfrac{ x}{2} \\
\Rightarrow x^2 > 4\sin^2 \dfrac{ x}{2}$

Với $x \ge  \dfrac{ \pi}{2}$ thì $x > \sin \dfrac{x}{2}$ 

Nên là $f'(x) >0 \ \forall \ x>0$ bạn nhé


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi demon311: 02-10-2015 - 16:52

Ngoài ngoại hình ra thì ta chả có cái gì cả =))





0 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh