Bài toán con bướm là bài toán quen thuộc đối với HSG lớp 9. Mình mới học nên post lên cho mọi người xem và đóng góp ý kiến. Mình cũng post lên một trường hợp đặc biệt của bài toán con bướm và cách giải. Có ai có cách giải nào khác hoặc trường hợp đặc biệt của bài toán con bướm khác thì post lên (kèm theo hình luôn).
=========================================================
Bài toán con bướm
Cách 1:
$I$ là trung điểm của $AB$ nên $OI \perp AB$.
Do đó, $OHMI, OKNI$ là tứ giác nội tiếp. Nên
$\angle ION = \angle IKN$
$\angle IOM = \angle IHM$
$\Rightarrow \vartriangle IFC \sim \vartriangle IDE$
$\dfrac{{IF}}{{FC}} = \dfrac{{ID}}{{DE}} \Rightarrow \dfrac{{IF}}{{2.FH}} = \dfrac{{ID}}{{2.DK}}$
$ \Rightarrow \dfrac{{IF}}{{FH}} = \dfrac{{ID}}{{DK}}$
$ \Rightarrow \vartriangle HFI \sim \vartriangle KDI$
$ \Rightarrow \angle FHI = \angle DKI$
$ \Leftrightarrow \angle IHC = \angle IKE$
$ \Leftrightarrow \angle IOM = \angle ION$
$ \Rightarrow \vartriangle OIM = \vartriangle OIN \Rightarrow IM = IN$
==========================================================
Cách 2:
$OI \perp AB \Rightarrow OI \perp DK \Rightarrow IO$ là trung trực của $DK$.
Dễ chứng minh $IK = ID;\angle KIO = \angle DIO$
Nên $\angle DIM = \angle DIN$
$\angle KFC = \angle KDC = \angle DIB = \angle KIA$
Nên $MIFK$ là tứ giác nội tiếp.
$ \Rightarrow \angle MKI = \angle MFI = \angle IDN$
$ \Rightarrow \vartriangle KIM = \vartriangle DIN \Rightarrow IM = IN$
=============================================================
Mình trình bày luôn trường hợp đặt biệt của bài toán và cách giải độc đáo của bài này (theo mình nghĩ).
Dễ chứng minh $OI\perp NP$.
$\angle BFC = \angle BEC = 90^ \circ $
Nên $I$ là trực tâm tam giác $ABC$. Do đó, $AI \perp BC$.
Tam giác $AIP$ và $BOI$ có:
$\angle IBC = \angle IAC$ (cùng phụ với góc $BCE$)
$\angle PIE = \angle BIO$ (cùng phụ góc $EIP$)
$ \Rightarrow \vartriangle AIP \sim \vartriangle BOI$
$ \Rightarrow \dfrac{{IP}}{{IO}} = \dfrac{{AI}}{{OB}} \quad (1)$
Tương tự, $ \vartriangle AIN \sim \vartriangle COI$
$ \Rightarrow \dfrac{{IN}}{{IO}} = \dfrac{{AI}}{{OB}} \quad (2)$
Mà $OB=OC$ nên từ (1), (2) suy ra $\dfrac{{IN}}{{IO}} = \dfrac{{IP}}{{IO}}$. Suy ra đpcm.
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi perfectstrong: 21-02-2024 - 14:57
LaTeX
