Chủ đề này có 12 trả lời

[kummer]

Phương pháp Lagrange là một phương pháp tương đối phổ biến trong các sách ngoại văn nhưng không hiểu sao tôi lại chưa tìm thấy nó ở sách trong nước.
Nền tảng cụ thể của phương pháp này như sau: (xin lỗi vì ở đây không có kí hiệu đạo hàm theo hướng nên tôi dùng tạm kí hiệu , (X) F là đạo hàm theo hướng ( with respect to) X của F coi Y như một tham số.
Vídụ:

Bài toán tổng quát như sau: cho hàm số F(X,X1,..,Xm) có thể mở rộng ra cho m biến với điều kiện ban đầu là Gn(X,X1...Xm)=0 với n,m 1. Lagrange đã cm được rằng điểm xảy ra cực trị của hàm số F(X) nằm trong tập nghiệm của "hệ phương trình" (Xj) F- ( Ai (Xj) Gi) )=0 (với j từ 1 đến m, Ai là tham số).
Phương pháp này không chỉ rõ ra đâu là cực đại đâu là cực tiểu ,nhưng tập nghiệm của hệ pt trên bao hàm cả hai điểm đó, hoặc ít nhất 1 điểm( trong trường hợp 1 trong hai giá trị xảy ra ở vô cực).
Để luyện tập pp này tôi xin đưa ra một số ví dụ khá hay:

1) Cho X+Y+Z=4

Tìm giá trị min max của tích XYZ.
Đây là bài của bạn 777666.

2) Cho
Tìm max : P=3XYZ - 10(X+Y+Z)
Đây là bài của bạn AnhCuong.

Đơn giản hơn các bạn có thể thử làm với những bài như cho X,Y,Z>0
Thỏa mãn X+Y+Z=A chẳng hạn
Tìm min của

(Lưu ý : phương pháp này rất mạnh nhưng chúng ta rất dễ nhầm lẫn trong tính toán vì đôi khi pp đưa về một pt bậc cao kết quả không đẹp, nhưng có thể nói chắc chắn rằng sau khi biết pp này việc tìm cực trị của những biểu thức dạng như trên không còn nhiều khó khăn nữa)

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Alligator: 04-09-2005 - 03:54

[kummer]

Vậy thì tôi xin cám ơn Euler trước...Nhưng có một lưu ý quan trọng quan trọng khi sử dụng phương pháp Lagrange (xin phép post trước Euler ),tôi đã tham khảo qua ý kiến của một số giáo sư toán ,đó là phương pháp này tuy rất mạnh đối với những biểu thức dạng : 1) khi thay đổi vị trí x,y,z vẫn thu được biểu thức cũ.
2) đạo hàm cấp 1 theo biến nào là hàm với biến đó là biến duy nhất..Để đảm bảo mỗi pt cuả hệ Lagrange đều có thể giải được độc lập mà không cần add or subtract bất cứ hệ nào trong những hệ còn lại..
Tuy nhiên đối với những biểu thức đại loại như khi thay đổi chỗ của x,y,z ta không thể tìm lại được biểu thức ban đầu thì PP này không hiệu quả lắm ( thậm chí là invalid.....................
Đây chỉ là một lưu ý nho nhỏ nhưng cũng khá quan trọng cho ai muốn tìm hiểu phương pháp này...............

[maple_ht]

phương pháp này với 3 biến thì sao hả các bác??

[kummer]

Trước tiên bạn đọc kĩ bài post của Euler cho 2 biến trước đã...sau đấy bạn hãy xem ngược lên bài tôi đã post( vì tôi đã post cho n biến chứ không phải chỉ riêng 3 biến ) vì tôi viết hơi khó hiểu nên có lẽ cách tốt nhất là xem thật kĩ bài của Euler trước để hiểu kĩ hơn...Còn nếu không bạn có thể đợi một thời gian ngắn nữa,vì Euler sẽ còn post tiếp về phương pháp này.....

[maple_ht]

bây giờ thì em hiểu với n biến rồi .Nhưng với loại nhiều điều kiện thì sao vậy.Hàm Lagrange sẽ như thế nào?
em xin đưa ra ví dụ:
cho các số thực a,b,c thỏa mãn điều kiện : a+b+c=0;http://dientuvietnam...?a^2 b^2 c^2=4.
tìm GTLN ,GTNN của P=http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?a^2b+b^2c+c^2a

[kummer]

Thực ra những điều kiện cần thiết để sử dụng phương pháp Lagrange ,Euler mới post cho 2 biến thôi,tức là chưa đủ,nhưng nếu post hết lên sẽ động chạm rất nhiều tới toán cao cấp....Mà chỗ đấy thì học sinh THPT phần nhiều là chưa đủ kiến thức lĩnh hội được,nếu có muốn thì cũng sẽ rất mất thời gian,để thời gian đó làm việc khác hợp lí hơn ...vì vậy trước bài post của Euler ,tôi đã cố phân loại ra với những bài nào nên dùng Lagrange với những bài nào thì không nên dùng rồi...
Bạn cứ coi pp này như một công cụ hữu hiệu để xđ dấu của bđt xảy ra khi nào trong TH không thể mò ra bằng Cauchy hay Bunhia....Những bài như của bạn đã đưa ra làm ví dụ hoàn toàn có thể chân phương giải bằng khảo sát hàm ( mà thực sự khảo sát là công cụ mạnh nhất của toán sơ cấp ) ...quy cả 3 biến về 1 biến duy nhất..................Thêm 1 ghi chú nữa,trong đk có nhiều hàm liên lạc,hệ Lagrange sẽ có nhiều tham số Lagrange,chứ không chỉ riêng 1 tham số duy nhất..........

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi kummer: 23-08-2005 - 13:56

[N.V.Minh]

Cho tớ hỏi cực trị các bạn đang xét là toàn cục hay địa phương vậy ? Nếu là địa phương thì có cách nào tìm cực trị toàn cục không ( cứ cho hàm là khả vi vô hạn đi ) ?

[quantum-cohomology]

Tớ nghĩ là các bạn đó đang xét cực trị địa phuơng thôi ( local extrem )

[tnk]

PP của Lagrange thực sự là rất rất mạnh, nhưng đôi khi chúng ta rất khó để tìm ra nghiệm của hệ phương trình, chưa kể đến một số điều kiện ràng buộc khó chịu mà sau khi đạo hàm ra, chúng ta có 1 biểu thức nhìn rất rối mắt.

[kummer]

Đúng là đôi khi phương pháp Lagrange rất rắc rối ,khi hệ Lagrange quá khó giải ...Nhưng đối với những hệ quy về pt đặc trưng ..ví dụ như f(t) =0 chúng ta vẫn còn những công cụ phụ của giải pt đại số ví dụ như định lí Viét, định lí Đề Các về sự quan hệ giữa số nghiệm dương của pt và sự đổi dấu từ dương sang âm của hệ số và nguyên lí Dirichlet....Thậm chí có những hệ bạn không cần phải giải mà dùng dirichlet nhận xét quy về 2 biến bằng nhau thì sẽ có min hoặc max,như thế đã là thuận tiện lắm rồi.....

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi kummer: 24-08-2005 - 14:52

[kummer]

Bây giờ mới nhìn thấy bài post của anh Quantum,tai hại quá....Đáng lẽ phải để ý sớm hơn...
Thế này anh nhé,PP Lagrange là để tìm cực đại và cực tiểu của hàm số ( Minimum and Maximum ) là min hoặc max chứ không phải là Local Extreme....Bạn đọc PP này có thể dễ dàng suy ra điều này từ định nghĩa Local Extreme của 1 hàm .... Mặt khác nói một cách vui vẻ 1 chút thì nếu cụ Lagrange ở trên trời mà đọc thấy bài post của anh Quantum về PP tuyệt vời của cụ thì có lẽ cụ đến tức giận mà thăng thiên lên tầng thượng giới tiếp theo mất ( em đùa thôi,nếu có gì anh Quantum đừng giận nhé )...vì sao vậy,vì để xác định local extreme chỉ cần ' hàm đã cho để xác định không điểm là xong,chứ đâu cần đến tham số Lagrange làm gì nữa...Một ví dụ tương đối điển hình đấy là việc các bạn có thể xét cực trị địa phương của hàm: và xét min của hàm này có thêm biểu thức liên hệ bằng Lagrange sẽ nhận ra sự khác nhau ngay........
Có thể giải thich nôm na với các bạn bậc PTTH quan tâm tới phương pháp này như sau : Các bạn đã biết 1 điều là hàm số liên tục trong 1 khoảng xác định thì đạt tới min và max trong khoảng đó....cũng gần tương tự như vậy,bản chất của biểu thức liên hệ là gì? thực ra nó là một cái bao kín để giới hạn hàm cần xét trong 1 miền,vậy thôi............
thêm 1 điều nữa để chú thích thêm cho thắc mắc của 1 số bạn khác đó là tại sao đối với 1 số hàm PP Lagrange tỏ ra không hiệu quả lắm,đó là vì hệ pt Lagrange trở nên quá khó giải quyết.Nhưng cao tay hơn 1 chút các bạn có thể không động tray giải nhưng vẫn " thu hẹp được tập mẹ " của điểm xảy ra min,max bằng ba yếu tố:
1) sử dụng những dữ kiện cho trước ( thường là các biến đều dương ) để suy ra dấu của tham số Lagrange........
2) định lí Đề Các về sự quan hệ của việc chuyển dấu từ (+) sang (-) của 1 đa thức đối với số không điểm của đa thức đó...
3) Nguyên lí Drichlet.....
trong trường hợp nào nên giải bằng Lagrange?
1) khi đổi chỗ các biến cho nhau,giá trị của hàm cho trước là không đổi...
2) đạo hàm theo hướng biến nào là hàm số của biến đó only....
Cuối cùng xin post vài bài toán để các bạn làm chơi:
1) đây là bài "thách thức" trong box " Các bài toán tự sáng tạo " ...bài này áp dụng Lagrange rất nhanh........
2) tôi xin phép được đánh giá rất cao những bạn nào mới chỉ làm quen ít lâu với Lagrange mà có thể áp dụng PP đó để giải 2 bài này....
cho xyz=1
CMR: đây là bài của Doulce post lên....
cho x+y+z=1; xy +yz+xz=2/9
tìm min
.............đây là bài của tnk post lên...
Một lưu ý kĩ nữa,thực ra bài post trước đấy của Euler về đk để có cực trị của hàm là mới chỉ dùng cho 2 biến và là để xác định cực trị địa phương,ứng với việc khảo sát các hàm bậc 3 và 4 thôi...vì vậy nên khi áp dụng PP Lagrange chúng ta cứ thẳng tay không nên lo nghĩ nhiều..............

[tnk]

Bài mình đố, mình mong người giải dùng các PP của Đại số để giải chứ ko dùng các PP của Giải tích. Thực ra nếu dùng PP của Lagrange thì bài đó tầm thường. Dù sao các bạn trong này biết thêm về PP của Lagrange cũng hay. Kummer pót bài tiếp đi nhỉ!!

[Ronaldo]

Lagrange multipliers là một phương pháp hay . Mãi lên đại học mình mới biết, nếu biết sớm hơn thì tốtquá .
Mọi người tham khảo thêm ở đây cũng được Lagrange multipliers , nói chung đây là phương pháp cơ bản , phổ biến khi lên đại học.

Mình thấy mấy trường community college dạy cho sinh viên thì học lóm vậy. Chứ ở Việt Nam, lên đại học vẫn chưa thấy dạy cái kiến thức đó, thật không hiểu nổi