Chuyên đề 2: Phương trình , hệ phương trình ôn thi đại học 2011
#21
Đã gửi 26-05-2011 - 22:24
Lời giải: rất tương tự phương pháp giải phương trình 9 quen thuộc như trên.
Bài giải: trước hết ta xử lí :
$\textup{pt} \Leftrightarrow (15x)^2 - 2.15x = 2004\sqrt{30060x+1} + 2004 \\.\\ \Leftrightarrow (15x-1)^2 -2005 = 2004.\sqrt{2004.15x+1}$
Đặt ẩn $y = 15x -1$ thì phương trình trở thành:
$y^2 - 2005 = 2004\sqrt{2004x + 2005}$
Đến đây, ta cũng có 2 cách giải như sau ( chỉ vắn tắt)
cách 1: đặt $t = \sqrt{2004x +2005}$ nhằm đưa pt về giải hệ phương trình đỗi xứng kiểu II
cách 2: phân tích về dạng $A^2 \pm B^2 = 0$
cách 3: ......
@@@ truclamyentu: bạn xem lại bài 12 xem, sao lúc này mình thấy bạn post đề khác !
rongden_167
#22
Đã gửi 26-05-2011 - 22:43
suy nghĩ đẳng thức: $(x+2)^3 = x^3+6x^2+12x+8 $
Bài giải: Đk: $ x \ge -2$
$\textup{pt} \Leftrightarrow (x+2)^2 + 2\sqrt{(x+2)^3} + 1 = 9x^2+18x + 9 \\. \\ \Leftrightarrow \left(\sqrt{(x+2)^3} + 1\right)^2 = (3x+3)^2$
$\Leftrightarrow \left\{\begin{array}{l} x \ge - 1 \\ 3x + 3 = \sqrt{(x+2)^3}+1 \\ \end{array} \right.$
Giải phương trình: $3x + 3 = \sqrt {{{(x + 2)}^3}} + 1$
$\Leftrightarrow \left\{\begin{array}{l} x \ge \dfrac{{ - 2}}{3} \\ {(x + 2)^3} = {(3x + 2)^2} \\ \end{array} \right.$
Từ đó ta suy ra nghiệm của pt ban đầu nhờ giải phương trình bậc 3 sau khi khai triển !
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi h.vuong_pdl: 26-05-2011 - 22:47
rongden_167
#23
Đã gửi 27-05-2011 - 14:46
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi truclamyentu: 27-05-2011 - 14:46
#24
Đã gửi 27-05-2011 - 14:56
$ 13/ {x^3} - 3{x^2} + 2\sqrt {{{(x + 2)}^3}} - 6x = 0$
cách giải khác :
$\begin{array}{l}\sqrt {x + 2} = a \ge 0 \Rightarrow x = {a^3} - 2\\\\ \Rightarrow {x^3} - 3{x^2} + 2{a^3} - 6x = 0\\\\ \Leftrightarrow {x^3} - 3x({a^3} - 2) + 2{a^3} - 6x = 0\\\\ \Leftrightarrow {x^3} - 3x{a^2} + 2{a^3} = 0 \Leftrightarrow {(x - a)^2}(x + 2a) = 0\end{array}$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi truclamyentu: 27-05-2011 - 14:58
#25
Đã gửi 27-05-2011 - 15:48
$ {x^3} + 3{x^2} - 3\sqrt[3]{{3x + 5}} = 1 - 3x$${x^3} + 3{x^2} - 3\sqrt[3]{{3x + 5}} = 1 - 3x$
$ \leftrightarrow (x+1)^3=\sqrt[3]{3x+5}+2$
Đặt $ x+1=t$ Hệ thành :
$ t^3=\sqrt[3]{3t+2}+2$
Đặt $ z=\sqrt[3]{t+2}$ Dẫn đến :
$ \left\{\begin{array}{l}{t^3=3z+2}\\{z^3=3t+2}\end{array}\right. $
Trừ về cho vế , ta được :
$ (t-z)(t^2+tz+z^2+3)=0$
$ \leftrightarrow t=z$
$ \leftrightarow x+1=\sqrt[3]{3x+5}$
$\leftrightarrow x^3+3x^2-4=0$
$\leftrightarrow x=1$ hoặc $ x=-2$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Nguyễn Hoàng Lâm: 27-05-2011 - 17:50
Đôi khi ta mất niềm tin để rồi lại tin vào điều đó một cách mạnh mẽ hơn .
#26
Đã gửi 27-05-2011 - 17:34
bài 12 làm như sau****câu 12 : đây là một câu mình đã gửi ở topic khác nhưng chưa có lời giải
(nó nằm trong chuyên đề của thầy TRẦN PHƯƠNG )
$\left\{\begin{array}{l}\dfrac{x-y}{1-xy} = \dfrac{1-3x}{3-x} \\\dfrac{x+y}{1+xy} = \dfrac{1-2y}{2-y} \end{array}\right.$
$\begin{array}{l}13/{x^3} - 3{x^2} + 2\sqrt {{{(x + 2)}^3}} - 6x = 0\\\\\\14/\dfrac{{15}}{2}(30{x^2} - 4x) = 2004(\sqrt {30060x + 1} + 1)\end{array}$
lần lượt thêm 1,bớt 1 vào phương trình thứ nhất ta được
$\[\dfrac{{(1 - y)(x + 1)}}{{1 - xy}} = \dfrac{{4(1 - x)}}{{3 - x}}\left( 1 \right)\]$
$\[\dfrac{{(x - 1)(y + 1)}}{{1 - xy}} = \dfrac{{ - 2(x + 1)}}{{3 - x}}\left( 2 \right)\]$
tương tự với pt thứ 2 ta được
$\[\dfrac{{(x + 1)(y + 1)}}{{1 + xy}} = \dfrac{{3(1 - y)}}{{2 - y}}\left( 3 \right)\]$
$\[\dfrac{{(x - 1)(y - 1)}}{{1 - xy}} = \dfrac{{y + 1}}{{2 - y}}\left( 4 \right)\]$
dẽ tháy x=1,x=-1,y=1,y=-1 đều không là nghiệm của pt
chia (1) cho (2),(3) cho (4)
đặt $\[a = \dfrac{{x - 1}}{{x + 1}},b = \dfrac{{y + 1}}{{y - 1}}\]$
gải hpt ta đc kết quả
#27
Đã gửi 27-05-2011 - 17:44
nếu đặt x+1=t thì phải là$ {x^3} + 3{x^2} - 3\sqrt[3]{{3x + 5}} = 1 - 3x$
$ \leftrightarrow (x+1)^3=\sqrt[3]{3x+5}+2$
Đặt $ x+1=t$ Hệ thành :
$ t^3=\sqrt[3]{t+2}+2$
Đặt $ z=\sqrt[3]{t+2}$ Dẫn đến :
$ \left\{\begin{array}{l}{t^3=3z+2}\\{z^3=3t+2}\end{array}\right. $
Trừ về cho vế , ta được :
$ (t-z)(t^2+tz+z^2+3)=0$
$ \leftrightarrow t=z$
$ \leftrightarow x+1=\sqrt[3]{3x+5}$
$\leftrightarrow x^3+3x^2-4=0$
$\leftrightarrow x=1$ hoặc $ x=-2$
$ t^3=\sqrt[3]{3t+2}+2 $
chứ nhỉ?????
Mong rằng toán học bớt khô khan
Em ơi trong toán nhiều công thức
Cũng đẹp như hoa lại chẳng tàn
#28
Đã gửi 27-05-2011 - 17:51
Đúng như bạn nói . Tại mình chưa quen gõ latex nên hay nhầm lẫnnếu đặt x+1=t thì phải là
$ t^3=\sqrt[3]{3t+2}+2 $
chứ nhỉ?????
Đôi khi ta mất niềm tin để rồi lại tin vào điều đó một cách mạnh mẽ hơn .
#29
Đã gửi 27-05-2011 - 18:00
mình chém bài này góp vui
áp dụng BDT cauchy-schwarz ta có:
$ VT^2 \leq 2(3x^2+2x+1) $
ta sẽ CM:
$ 2(3x^2+2x+1) <(2x^2+2x+2)^2=VP^2 $
thật vậy, BDT trên tương đương với:
$ 2x^4+4x^3+3x^2+2x+1 \geq 0 \\ \Leftrightarrow 2(x^2+x)^2+(x+1)^2 \geq 0 $
đây là điều hiển nhiên đúng nên PT vô nghiệm
đã xong
Mong rằng toán học bớt khô khan
Em ơi trong toán nhiều công thức
Cũng đẹp như hoa lại chẳng tàn
#30
Đã gửi 27-05-2011 - 20:27
TIẾP TỤC:
6/$x^3-3x=\sqrt{x+2}$
câu này không ai làm thì mình làm vậy.
điều kiện : x -2
Nếu x>2 thì ta có :
${x^3} - 3x > 4x - 3x = x = \sqrt {{x^2}} > \sqrt {2x} > \sqrt {x + 2} $
nên pt VN
Xét x [-2;2] , đặt x=2cosa ; $a \in {\rm{[}}0;\pi {\rm{]}} \Rightarrow c{\rm{os}}\dfrac{a}{2} \ge0$
khi đó viết lại PT :
$\begin{array}{l}2(4c{\rm{o}}{{\rm{s}}^3}a - 3\cos a) = \sqrt {2(1 + \cos a)} \\\\ \Leftrightarrow 2\cos 3a = 2\cos \dfrac{a}{2} \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{a = \dfrac{{4k\pi }}{5}}\\{a =\dfrac{{4k\pi }}{7}}\end{array}} \right.\\\\ \Rightarrow a \in {\rm{\{ }}0;\dfrac{{4\pi }}{5};\dfrac{{4\pi }}{7}{\rm{\} }} \Rightarrow {\rm{x}} \in {\rm{\{ 2}};2\cos (\dfrac{{4\pi }}{5});2\cos (\dfrac{{4\pi }}{7}{\rm{)\} }}\end{array} $
.....................................................................................................................................................................
P/S : đề nghị các bạn giải câu 17
tiếp tục nào :
$\begin{array}{l}18/\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{x^2} + 2{y^2} + 2x + 8y + 6 = 0}\\{{x^2} + xy + 4x + 1 = 0}\end{array}} \right.\\\\\\19/\left\{ \begin{array}{l}(2{x^2} - 3x + 4)(2{y^2} - 3y + 4) = 18\\{x^2} + {y^2} + xy - 7x - 6y + 14 = 0\end{array} \right.\end{array}$
((Trường THPT Chuyên ĐHSP Hà Nội, đề chọn đội dự tuyển))
đây là một bài trong file anh supermember gửi cho mình (nó có cách giải khá hay)
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi truclamyentu: 27-05-2011 - 21:55
#31
Đã gửi 27-05-2011 - 21:22
Ngắm ai cũng thấy có chút đặc biệt cần khai thác ở phương trình thức nhât: đó là 2 đẳng thức:
$(x+1)^2 = x^2+2x+1, (y+2)^2 = y^2+4x+4$
Bài giải:Đổi biến: $a = x+1, b = y+2$ { khai thác nhận xét trên }
Vậy, hệ phương trình trở thành:
$\left\{\begin{array}{l}a^2+2b^2=3\\a^2+ab-b=0\end{array}\right.$
Thế giải phương trình bậc 4 chắc là ok!
@@@@ bạn xem lại coi bài này có thiếu gì không, thấy là lạ! chán
@@@@h.vuong_pdl : đề đúng đó bạn
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi truclamyentu: 27-05-2011 - 21:47
rongden_167
#32
Đã gửi 27-05-2011 - 21:29
Bài 20: Giải hpt:
$ \left\{\begin{array}{l}(3 - x)\sqrt {2 - x} - 2y\sqrt {2y - 1} = 0 \\ 2\sqrt {2 - x} - \sqrt {{{(2y - 1)}^3}} = 1\end{array}\right.$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi truclamyentu: 27-05-2011 - 21:50
#33
Đã gửi 27-05-2011 - 22:00
Bài giải: Điều kiện: $x \ge 2, y \ge \dfrac{1}{2}.$
Dặt $a =\sqrt{2-x}, b = \sqrt{2y-1}$ thì $a,b \ge 0$ và phương trình trở thành:
$a(a^2+1) = b(b^2+1) \Leftrightarrow (a-b)(a^2+ab+b^2 + 1) = 0 \Leftrightarrow a = b$
Xét phương trình thứ 2:
$2a -b^3 =1 \Rightarrow a^3 + 1 = 2a$
Giờ thì có thể giải tiếp và ok!
rongden_167
#34
Đã gửi 27-05-2011 - 22:03
tiếp tục nào :
$\begin{array}{l}18/\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{x^2} + 2{y^2} + 2x + 8y + 6 = 0}\\{{x^2} + xy + 4x + 1 = 0}\end{array}} \right.\\\\\\19/\left\{ \begin{array}{l}(2{x^2} - 3x + 4)(2{y^2} - 3y + 4) = 18\\{x^2} + {y^2} + xy - 7x - 6y + 14 = 0\end{array} \right.\end{array}$
((Trường THPT Chuyên ĐHSP Hà Nội, đề chọn đội dự tuyển))
đây là một bài trong file anh supermember gửi cho mình (nó có cách giải khá hay)
mình post bài giải câu 19 để các bạn tham khảo:
Xét đẳng thức: ${x^2} + {y^2} + xy - 7x - 6y + 14 = 0$
Ta xem là phương trình bậc hai theo biến x, viết lại là:
$ {x^2} + x ( y - 7) + {y^2} - 6y + 14 = 0$
Phương trình này có nghiệm khi:
${\Delta _y} = {(y - 7)^2} - 4({y^2} - 6y + 14) \ge 0 \Leftrightarrow - 3{y^2} + 10y - 7 \ge 0 \Leftrightarrow 1 \le y \le \dfrac{7}{3}$
Hoàn toàn tương tự, xem là phương trình bậc hai theo biến y, viết lại là:
${y^2} - y(x - 6) + ({x^2} - 7x + 14) = 0$
Phương trình này có nghiệm khi:
${\Delta _x} = {(x - 6)^2} - 4({x^2} - 7x + 14) \ge 0 \Leftrightarrow - 3{x^2} + 16x - 20 \ge 0\Leftrightarrow 2 \le x \le \dfrac{{10}}{3}$
Ta xét hàm số:
$f(t) = 2{t^2} - 3t + 4,t \in R \Rightarrow f'(t) = 4t - 3 = 0 \Leftrightarrow t = \dfrac{3}{4} < 1$
$f(x) \ge f(2) = 6,f(y) \ge f(1) = 3 \Rightarrow f(x).f(y) \ge 3.6 = 18$
Từ phương trình thứ nhất của hệ thì ta thấy đẳng thức phải xảy ra, tức là : x=2 ;y=1
Thay hai giá trị này vào , ta thấy không thỏa.
Vậy hệ phương trình đã cho vô nghiệm.
............................
P/S : hoàn thành nốt câu 17 để chúng ta tiếp tục những bài mới
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi truclamyentu: 27-05-2011 - 22:18
#35
Đã gửi 27-05-2011 - 22:26
21/ giải hệ:
$ \left\{\begin{array}{l}x^5+xy^4=y^{10}+y^6 \\ \sqrt{4x+5}+\sqrt{y^2+8}=6 \end{array}\right. $
24/ $ \left\{\begin{array}{l}\sqrt{x^2+2x+22}-\sqrt{y}=y^2+2y+1 \\ \sqrt{y^2+2y+22}-\sqrt{x}=x^2+2x+1 \end{array}\right. $
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi NGOCTIEN_A1_DQH: 28-05-2011 - 10:48
Mong rằng toán học bớt khô khan
Em ơi trong toán nhiều công thức
Cũng đẹp như hoa lại chẳng tàn
#36
Đã gửi 28-05-2011 - 06:46
Chém nhanh thế có nhận ra bài này tương tự bài khó nhất trong kì thi đâị học khối A 2010 khôngKhai thác phương trình đầu: nx: $2-x = (3-x) -1 , 2y-1 = (2y) - 1$
Bài giải: Điều kiện: $x \ge 2, y \ge \dfrac{1}{2}.$
Dặt $a =\sqrt{2-x}, b = \sqrt{2y-1}$ thì $a,b \ge 0$ và phương trình trở thành:
$a(a^2+1) = b(b^2+1) \Leftrightarrow (a-b)(a^2+ab+b^2 + 1) = 0 \Leftrightarrow a = b$
Xét phương trình thứ 2:
$2a -b^3 =1 \Rightarrow a^3 + 1 = 2a$
Giờ thì có thể giải tiếp và ok!
#37
Đã gửi 28-05-2011 - 06:51
HỆ PHƯƠNG TRÌNH , PHƯƠNG TRÌNH �”N THI ĐẠI HỌC 2011
HI VỌNG CÁC BẠN ỦNG HỘ
Bài 21 Giải hpt
$\left\{ \begin{array}{l}{x^3} + y = 2\\{y^3} + x = 2\end{array} \right.$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi truclamyentu: 28-05-2011 - 10:08
sai latex
#38
Đã gửi 28-05-2011 - 09:09
$\begin{array}{l}22/16{x^4} + 5 = 6\sqrt[3]{{4{x^3} + x}}\\\\\\23/\sqrt[3]{{x + 1}} - \sqrt[3]{{x - 1}} = \sqrt[6]{{{x^2} - 1}}\end{array}$
P/S : ĐỀ NGHỊ bạn alex_hoang gõ đúng latex
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi truclamyentu: 28-05-2011 - 10:08
#39
Đã gửi 28-05-2011 - 10:29
Từ(1) ta rút ra được $x \geq 0 $thêm 2 bài nữa nhé
21/ giải hệ:
$ \left\{\begin{array}{l}x^5+xy^4=y^{10}+y^6 (1) \\ \sqrt{4x+5}+\sqrt{y^2+8}=6 (2) \end{array}\right. $
$(1) \leftrightarrow x^5-y^{10}+y^4(x-y^2)=0$
$ \leftrightarrow (x-y^2)(x^4+x^3y^2+...+y^8)+(x-y^2)y^4=0$
$ \leftrightarrow x=y^2$
Thay vào (2) ta được $ \sqrt{4y^2+5}+\sqrt{y^2+8}=6$
$\leftrightarrow 2\sqrt{(4y^2+5)(y^2+8)}=23-5y^2 (-\sqrt{\dfrac{23}{5}}\leq y \leq \sqrt{\dfrac{23}{5}})$
Bung ra lần nữa ta được $ 9y^4-378y^2+369=0$
$ \leftrightarrow y=1$ hoặc $ y=41 $ (loại)
Với $ y=1 \rightarrow x=1$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Nguyễn Hoàng Lâm: 28-05-2011 - 10:31
Đôi khi ta mất niềm tin để rồi lại tin vào điều đó một cách mạnh mẽ hơn .
#40
Đã gửi 28-05-2011 - 10:41
ĐKXĐ:$x \le -1$ hay $x \ge 1$tiếp tuc:
23/$\sqrt[3]{{x + 1}} - \sqrt[3]{{x - 1}} = \sqrt[6]{{{x^2} - 1}}$
Đặt $a=\sqrt[3]{x+1};b=\sqrt[3]{x-1} \Rightarrow \left\{\begin{array}{l}a-b=\sqrt{ab}\\a^3-b^3=2\end{array}\right. $
Dễ dàng tính đc $ab=\sqrt[3]{\dfrac{1}{4}}$.Từ đây tính đc $a,b \Rightarrow x$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi dark templar: 28-05-2011 - 10:43
2 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 2 khách, 0 thành viên ẩn danh