Đến nội dung

Hình ảnh

Topic: Các bài toán về tính chia hết


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 306 trả lời

#241
nloan2k1

nloan2k1

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 219 Bài viết

MÌNH THẤY MẤY BÀI NÀY HAY NÀY.

 

BÀI 10: CMR nếu a là số chẵn thì mỗi số hạng của dãy số $a^a+1$;$a^{a^{a}}+1$;$a^{a^{a^{a}}}+1$;...$ đều không chia hết cho số lẻ bất kì.

 

BÀI 11: CMR mọi số lẻ không chia hết cho $5$ đều là ước của một số được viết bằng toàn chữ số $1$ trong hệ thập phân.

 

BÀI 12:  Người ta viết dãy số $1;2;3;...;1000000$, sau đó mỗi số được thay bằng tổng các chữ số của nó. Cứ làm vậy nhiều lần cho đến khi trong dãy chỉ có các số có một chữ số. Hỏi lúc này trong dãy, chữ số nào xuất hiện nhiều lần nhất?


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi nloan2k1: 02-08-2015 - 22:34


#242
hoctrocuaHolmes

hoctrocuaHolmes

    Thượng úy

  • Thành viên
  • 1013 Bài viết

BÀI 9: Chứng minh: 

 $a. 9^{2n}+2009\vdots 10$ $\left ( n\epsilon \mathbb{N} \right )$

 $b, 9.{10}^{n}+72\vdots81$ $\left ( n\epsilon \mathbb{N} \right )$

 $c, 16^{n}-15n-1 \vdots 225$  $\left ( n\epsilon \mathbb{N} \right )$

 $d, 12. 2^{n}.3^{n-1}+5n+21 \vdots25$ $\left ( n\epsilon \mathbb{N} \right )$

a)Ta có$9^{2}\equiv 1(mod 10)\Rightarrow 9^{2n}\equiv 1(mod 10)\Rightarrow 9^{2n}+2009\equiv 0(mod 10) (đpcm)$

b)$10\equiv 1(mod 9)\Rightarrow 10^{n}\equiv 1(mod 9)\Rightarrow 10^{n}+8\equiv 0(mod 9)\Rightarrow 9(10^{n}+8)\vdots 81(đpcm)$

c)Với $n=1$ ta có dpcm

Giả sử $16^{n}-15n-1 \vdots 225$ với $n=k$ suy ra $16^{k}-15k-1\vdots 225$

Ta sẽ chứng minh $16^{n}-15n-1 \vdots 225$ với $n=k+1$

Ta có $16^{n}-15n-1 =16^{k+1}-15(k+1)-1=(16^k-15k-1)+15(16^k-1)$

Vì $16^k-15k-1\vdots 225$ theo giả sử và $15(16^k-1)\vdots 225$ nên $16^{k+1}-15(k+1)-1\vdots 225$ suy ra đpcm



#243
nloan2k1

nloan2k1

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 219 Bài viết

a)Ta có$9^{2}\equiv 1(mod 10)\Rightarrow 9^{2n}\equiv 1(mod 10)\Rightarrow 9^{2n}+2009\equiv 0(mod 10) (đpcm)$

b)$10\equiv 1(mod 9)\Rightarrow 10^{n}\equiv 1(mod 9)\Rightarrow 10^{n}+8\equiv 0(mod 9)\Rightarrow 9(10^{n}+8)\vdots 81(đpcm)$

c)Với $n=1$ ta có dpcm

Giả sử $16^{n}-15n-1 \vdots 225$ với $n=k$ suy ra $16^{k}-15k-1\vdots 225$

Ta sẽ chứng minh $16^{n}-15n-1 \vdots 225$ với $n=k+1$

Ta có $16^{n}-15n-1 =16^{k+1}-15(k+1)-1=(16^k-15k-1)+15(16^k-1)$

Vì $16^k-15k-1\vdots 225$ theo giả sử và $15(16^k-1)\vdots 225$ nên $16^{k+1}-15(k+1)-1\vdots 225$ suy ra đpcm

THÁNH LÀM GÌ MÀ NHƯ LÊN MÂY KHÔNG BẰNG VẬY  (^^^)

 

a, $<=> 81^{n}+2009=\overline{...1}+\overline{...9} =\overline{...0}\vdots 10 (đpcm)$

b, $9.10^{n}+72=9.10^{n}-9+81=81k+81\vdots81(đpcm)$

c, $16^{n}-1-15n=15(16^{n-1}+16^{n-2}+...+16+1-n)=15(16^{n-1}-1+16^{n-2}-1+...+1-1)$

 Ta có: $16^{n-1}-1\vdots15$

            $16^{n-1}-1\vdots15$

          $...$

=> $15(16^{n-1}-1+16^{n-2}-1+...+1-1)\vdots15^2$ (đpcm)

d, $(3^{n+3}-26n-27)+169n-169$ (tương tự $c,$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi nloan2k1: 03-08-2015 - 14:46


#244
mam1101

mam1101

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 143 Bài viết

Góp vài bài  :icon6:  :icon6:  :icon6:

 

Bài 1 : Tìm các số nguyên dương $x,y$ lớn hơn $1$ sao cho $x+3 \vdots y, y+3 \vdots x$

 

Bài 2: Cho $a,b \in N$. Chứng minh rằng $(2a+ b) \vdots 7 \Leftrightarrow 3a^{2} + 10ab - 8b^{2} \vdots 49$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi votruc: 04-08-2015 - 12:47

Tội gì không like cho mọi người cái nhỉ  :icon6:  :icon6:  :icon6:


#245
hoctrocuaHolmes

hoctrocuaHolmes

    Thượng úy

  • Thành viên
  • 1013 Bài viết

Góp vài bài  :icon6:  :icon6:  :icon6:

 

Bài 1 : Tìm các số nguyên dương $x,y$ lớn hơn $1$ sao cho $x+3 \vdots y, y+3 \vdots x$

 

Bài 2: Cho $a,b \in N$. Chứng minh rằng $(2a+ b) \vdots 7 \Leftrightarrow 3a^{2} + 10ab - 8b^{2} \vdots 49$

1. Không mất tính tổng quát,giả sử $x\geq y\Rightarrow x=y+k(k\epsilon N)\Rightarrow y+3\vdots y+k\Rightarrow y+3\geq y+k\Rightarrow 3\geq k$

Xét $k=0$ thì $x=y$$\Rightarrow x+3\vdots x\Rightarrow 3\vdots x\Rightarrow \begin{bmatrix} x=y=1 (KTM x;y>1) & \\ x=y=3 & \end{bmatrix}$ 

$k=1$ thì $\Rightarrow y+3\vdots y+1\Rightarrow 2\vdots y+1\Rightarrow \begin{bmatrix} y+1=1 & \\ y+1=2 & \end{bmatrix}\Leftrightarrow \begin{bmatrix} y=0 & \\ y=1 & \end{bmatrix}$ (không thoả mãn $y>1$)

$k=2;3$ thì tương tự ta cũng không có nghiệm 

Vậy $x=y=3$ là nghiệm duy nhất của bài toán



#246
hoctrocuaHolmes

hoctrocuaHolmes

    Thượng úy

  • Thành viên
  • 1013 Bài viết

Bài 2: Cho $a,b \in N$. Chứng minh rằng $(2a+ b) \vdots 7 \Leftrightarrow 3a^{2} + 10ab - 8b^{2} \vdots 49$

2. ​​+Ta có $2a+b\vdots 7\Leftrightarrow (2a+b)^{2}\vdots 49\Leftrightarrow 4a^{2}+4ab+b^{2}\vdots 49\Leftrightarrow 3a^{2}+10ab-8b^{2}-(a-3b)^{2}\vdots 49$ $(1)$

Vì $2a+b\vdots 7\Rightarrow 8a+4b\vdots 7\Leftrightarrow a-3b+7a+7b\vdots 7\Leftrightarrow a-3b\vdots 7\Leftrightarrow (a-3b)^{2} \vdots 49 (2)$

Từ $(1)(2)$ ta suy ra $3a^{2} + 10ab - 8b^{2} \vdots 49$ (đpcm)

+$3a^{2} + 10ab - 8b^{2} \vdots 49\Leftrightarrow (3a-2b)(a+4b)\vdots 49\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} 3a-2b\vdots 7 & \\ a+4b\vdots 7 & \end{matrix}\right. \Leftrightarrow 3a-2b+a+4b\vdots 7\Leftrightarrow 4a+2b\vdots 7\Leftrightarrow 2a+b\vdots 7$ (đpcm)


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi votruc: 04-08-2015 - 13:17


#247
nloan2k1

nloan2k1

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 219 Bài viết

Góp vài bài  :icon6:  :icon6:  :icon6:

 

Bài 1 : Tìm các số nguyên dương x,y lớn hơn 1 sao cho $x+3 \vdots y$ ,$ y+3 \vdots  x$ 

 

 

+ TH1: $x=y$

=> $(x+3) \vdots x <=> 3 \vdots x$

=> $x=y=3$

+ TH2: $x \neq y$. Gỉa sử $x>y$

Đặt $y+3=px$ $(p>1)$

$=> px=y+3<x+3<x$

$=> p<1$ (vô lý -> loại)

Vậy $x=y=3$



#248
nloan2k1

nloan2k1

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 219 Bài viết

MÌNH THẤY MẤY BÀI NÀY HAY NÀY.

 

BÀI 10: CMR nếu a là số chẵn thì mỗi số hạng của dãy số $a^a+1$;$a^{a^{a}}+1$;$a^{a^{a^{a}}}+1$;...$ đều không chia hết cho số lẻ bất kì.

 

 

Vì $a$ là số chẵn nên dãy trên có dạng $a^{2k}+1$ 

Mà $(a^{k})^{2}$ chia $3$ dư $0$ hoặc $1$

Khi đó $(a^{k})^{2}$ không chia hết cho $3$ với mọi $k$. 


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi nloan2k1: 04-08-2015 - 13:25


#249
mam1101

mam1101

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 143 Bài viết

1. Không mất tính tổng quát,giả sử $x\geq y\Rightarrow x=y+k(k\epsilon N)\Rightarrow y+3\vdots y+k\Rightarrow y+3\geq y+k\Rightarrow 3\geq k$

Xét $k=0$ thì $x=y$$\Rightarrow x+3\vdots x\Rightarrow 3\vdots x\Rightarrow \begin{bmatrix} x=y=1 (KTM x;y>1) & \\ x=y=3 & \end{bmatrix}$ 

$k=1$ thì $\Rightarrow y+3\vdots y+1\Rightarrow 2\vdots y+1\Rightarrow \begin{bmatrix} y+1=1 & \\ y+1=2 & \end{bmatrix}\Leftrightarrow \begin{bmatrix} y=0 & \\ y=1 & \end{bmatrix}$ (không thoả mãn $y>1$)

$k=2;3$ thì tương tự ta cũng không có nghiệm 

Vậy $x=y=3$ là nghiệm duy nhất của bài toán

x=9, y=6 vẫn đúng mà bạn.


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi mam1101: 04-08-2015 - 19:42

Tội gì không like cho mọi người cái nhỉ  :icon6:  :icon6:  :icon6:


#250
nloan2k1

nloan2k1

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 219 Bài viết

Theo mình nghĩ nên đặt x = k.y để có thể giải được các bài tương tự .

Không có gì đảm bảo là $x\vdots y$ cả bạn ạ.


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi nloan2k1: 04-08-2015 - 17:07


#251
mam1101

mam1101

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 143 Bài viết

2. ​​+Ta có $2a+b\vdots 7\Leftrightarrow (2a+b)^{2}\vdots 49\Leftrightarrow 4a^{2}+4ab+b^{2}\vdots 49\Leftrightarrow 3a^{2}+10ab-8b^{2}-(a-3b)^{2}\vdots 49$ $(1)$

Vì $2a+b\vdots 7\Rightarrow 8a+4b\vdots 7\Leftrightarrow a-3b+7a+7b\vdots 7\Leftrightarrow a-3b\vdots 7\Leftrightarrow (a-3b)^{2} \vdots 49 (2)$

Từ $(1)(2)$ ta suy ra $3a^{2} + 10ab - 8b^{2} \vdots 49$ (đpcm)

+$3a^{2} + 10ab - 8b^{2} \vdots 49\Leftrightarrow (3a-2b)(a+4b)\vdots 49\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} 3a-2b\vdots 7 & \\ a+4b\vdots 7 & \end{matrix}\right. \Leftrightarrow 3a-2b+a+4b\vdots 7\Leftrightarrow 4a+2b\vdots 7\Leftrightarrow 2a+b\vdots 7$ (đpcm)

 

 

+ TH1: $x=y$

=> $(x+3) \vdots x <=> 3 \vdots x$

=> $x=y=3$

+ TH2: $x \neq y$. Gỉa sử $x>y$

Đặt $y+3=px$ $(p>1)$

$=> px=y+3<x+3<x$

$=> p<1$ (vô lý -> loại)

Vậy $x=y=3$

Tuy chưa đọc kĩ bài hai bạn nhưng hai bạn thiếu nghiệm cả rồi.

Bài làm của mình

x=2 , y=2  thì phương trình sai (loại)

GS y$\geq$ x $\geq$ 2.

Ta có x + 3 $\vdots$ y  $\Rightarrow$ x+ 3 = k.y .

Ta có : k.y = x + 3 $\leq$ y + 3  $\leq$ y + y = 2y.

$\Rightarrow$ k $\leq$ 2 mà k thuộc N nên k=1, k=2 .

Với k=1 thì ta có 

x +3 = y, $\Rightarrow$ x= y - 3.

Thay vào đề ta có y + 3  $\vdots$ y-3 $\Rightarrow$ 6 $\vdots$ y-3

Ta có 3 nghiệm ( y = 5,  x=2), ( y = 6,  x = 3), (y = 9, x = 6) và các hoán vị.

Với k=2 làm tương tự.

 

Thấy hay thì like giùm đi


Tội gì không like cho mọi người cái nhỉ  :icon6:  :icon6:  :icon6:


#252
nloan2k1

nloan2k1

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 219 Bài viết

+ TH1: $x=y$

=> $(x+3) \vdots x <=> 3 \vdots x$

=> $x=y=3$

+ TH2: $x \neq y$. Gỉa sử $x>y$

Đặt $y+3=px$ $(p>1)$

$=> px=y+3<$ $x+3<x$

$=> p<1$ (vô lý -> loại)

Vậy $x=y=3$

BÀI MÌNH BỊ LỖI Ở ĐOẠN NÀY. 


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi nloan2k1: 04-08-2015 - 20:13


#253
nloan2k1

nloan2k1

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 219 Bài viết

1. Không mất tính tổng quát,giả sử $x\geq y\Rightarrow x=y+k(k\epsilon N)\Rightarrow y+3\vdots y+k\Rightarrow y+3\geq y+k\Rightarrow 3\geq k$

Xét $k=0$ thì $x=y$$\Rightarrow x+3\vdots x\Rightarrow 3\vdots x\Rightarrow \begin{bmatrix} x=y=1 (KTM x;y>1) & \\ x=y=3 & \end{bmatrix}$ 

$k=1$ thì $\Rightarrow y+3\vdots y+1\Rightarrow 2\vdots y+1\Rightarrow \begin{bmatrix} y+1=1 & \\ y+1=2 & \end{bmatrix}\Leftrightarrow \begin{bmatrix} y=0 & \\ y=1 & \end{bmatrix}$ (không thoả mãn $y>1$)

$k=2;3$ thì tương tự ta cũng không có nghiệm 

Vậy $x=y=3$ là nghiệm duy nhất của bài toán

TH này cậu sai rồi này Q, sao trừ thế được



#254
nloan2k1

nloan2k1

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 219 Bài viết

Tuy chưa đọc kĩ bài hai bạn nhưng hai bạn thiếu nghiệm cả rồi.

Bài làm của mình

x=2 , y=2  thì phương trình sai (loại)

GS y$\geq$ x $\geq$ 2.

Ta có x + 3 $\vdots$ y  $\Rightarrow$ x+ 3 = k.y .

Ta có : k.y = x + 3 $\leq$ $y + 3$  $\leq$ $y + y = 2y$.

$\Rightarrow$ k $\leq$ 2 mà k thuộc N nên k=1, k=2 .

Với k=1 thì ta có 

x +3 = y, $\Rightarrow$ x= y - 3.

Thay vào đề ta có y + 3  $\vdots$ y-3 $\Rightarrow$ 6 $\vdots$ y-3

Ta có 3 nghiệm ( y = 5,  x=2), ( y = 6,  x = 3), (y = 9, x = 6) và các hoán vị.

Với k=2 làm tương tự.

 

Thấy hay thì like giùm đi

CÒN XÉT TH $x=y=1$ và $x=1;y=2$ nữa chứ? 


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi nloan2k1: 04-08-2015 - 20:32


#255
mam1101

mam1101

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 143 Bài viết

CÒN XÉT TH $x=y=1$ và $x=1;y=2$ nữa chứ? 

x, y lớn hơn 1 mà 


Tội gì không like cho mọi người cái nhỉ  :icon6:  :icon6:  :icon6:


#256
ViTuyet2001

ViTuyet2001

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 121 Bài viết

Chứng minh rằng : $\left ( a \right )\left ( a+1 \right )\left ( 2a+1 \right )\vdots 6$



#257
anhtukhon1

anhtukhon1

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 480 Bài viết

Chứng minh rằng : $\left ( a \right )\left ( a+1 \right )\left ( 2a+1 \right )\vdots 6$

Nếu a thuộc Z

$a(a+1)(a-1+a+2)=a(a+1)(a-1)+a(a+1)(a+2)$. 

3 số liên tiếp chia hết cho 6 suy ra đpcm



#258
vutuannam

vutuannam

    Binh nhất

  • Thành viên
  • 30 Bài viết

cho x,y,z là các số nguyên $x^{2}+y^{2}=z^{2}$, CM

a) trong 2 số x, y có ít nhất 1 số chia hết cho 3

b)xy chia hết cho 12


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi vutuannam: 03-11-2015 - 22:27


#259
mam1101

mam1101

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 143 Bài viết

a) Nếu cả x,y đều không chia hết cho 3 thì x2, y2   đều chia 3 dư 1 nên zchia 3 dư 2 loại

b)  Nếu cả x,y đều không chia hết cho 4 thì x2, y2   đều chia 4 dư 1 nên zchia 4 dư 2 loại

Vậy xy chia hết cho 12


Tội gì không like cho mọi người cái nhỉ  :icon6:  :icon6:  :icon6:


#260
huyennguyen107

huyennguyen107

    Lính mới

  • Thành viên
  • 1 Bài viết

Bài 2. Chứng minh:
Điều kiện cần và đủ để một số chia hết cho 17 là tổng của 3 lần chữ số hàng chục và 2 lần chữ số hàng đơn vị của số đó chia hết cho 17 (Thanks).

Mình nghĩ cái này sai. ví dụ số 187 chia het 17 nhung ko tuân theo qui tắc của bạn






0 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh