Em có cách này không biết có vấn đề gì không. Anh Định cho em ý kiến.
Ta có: $$\sin x = x - \dfrac{{{x^3}}}{{3!}} + o\left( {{x^3}} \right)$$
Do đó: $$\cos \left( {\sin x} \right) = \cos \left( {x - \dfrac{{{x^3}}}{{3!}} + o\left( {{x^3}} \right)} \right)$$
Đặt $$u = x - \dfrac{{{x^3}}}{{3!}} + o\left( {{x^3}} \right)$$
Khi đó bậc thấp nhất của $u$ là 1.
Và $$\cos u = 1 - \dfrac{{{u^2}}}{{2!}} + o\left( {{u^3}} \right)\,\,\,\,\,\left( 1 \right)$$
(vì bậc thấp nhất của ${u^4}$ là bậc 4 vượt quá 3)
Lại có: $$u = x - \dfrac{{{x^3}}}{{3!}} + o\left( {{x^3}} \right) \Rightarrow {u^2} = {\left( {x - \dfrac{{{x^3}}}{{3!}} + o\left( {{x^3}} \right)} \right)^2} = {x^2}\,\,\,\,\,\left( 2 \right)$$
$$o\left( {{u^3}} \right) = o\left( {{x^3}} \right)\,\,\,\,\,\left( 3 \right)$$
Thay (2), (3) vào (1) ta có:$$\cos \left( {\sin x} \right) = 1 - \dfrac{{{x^2}}}{{2!}} + o\left( {{x^3}} \right)$$.
Vậy khai triển tới ${{x^3}}$ là: $$f\left( x \right) = cos\left( {sinx} \right) = 1 - \dfrac{{{x^2}}}{2} + o\left( {{x^3}} \right)$$