Chủ đề này có 16 trả lời

[Crystal]

Đề thi Olympic toán sinh viên cấp trường của Đại học kinh tế quốc dân năm 2012

Câu 1.
a) Tính giới hạn: $\lim\limits_{x \to 0^+}\dfrac{\int_{0}^{\sin x}(e^{t^2}-1)dt}{\int_{0}^{x} 2t^2dt}dx$
b) Chứng minh rằng với mọi x>0 ta luôn có: $\ln (1+x) <x-\dfrac{x^2}{2}+\dfrac{x^3}{3}$

Câu 2.
Chứng minh rằng dãy số $u_n=\left(1+\dfrac{1}{n}\right)^{n+\frac{1}{2}}$ là dãy số giảm.

Câu 3.
Cho phương trình : $\dfrac{1}{2x}+\dfrac{1}{x-1}+\dfrac{1}{x-4}+...+\dfrac{1}{x-n^2}=0$
a, Chứng minh phương trình có nghiệm thực duy nhất thuộc (0, 1), ký hiệu nó là $x_n$
b, Chứng minh $x_n$ có giới hạn hữu hạn khi $n \to +\infty$

Câu 4.
Cho hàm số $f(x)$ khả vi trên [0, 1] sao cho: $f(0)=0,\ f(1)=1, 0 \le f(x) \le 1$.
Chứng minh tồn tại hai số $a \ne b, \ a, b \in (0, 1)$ sao cho $f'(a).f'(b)=1$

Câu 5.
Cho $f : [0, 1] \to \mathbb{R}$ thỏa mãn: $\int_{0}^{1}f(x)dx=\int_{0}^{1} xf(x)dx=1$ Chứng minh rằng : $\int_{0}^{1}[f(x)]^2dx \ge 4$

Câu 6. Tìm mọi hàm số $f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ thỏa mãn điều kiện :
1, $f(x)=-f(-x)$
2, $f(x+1)=f(x)+1$
3, $f(\dfrac{1}{x})=\dfrac{f(x)}{x^2},\ x \ne 0$

[Crystal]

Nhận xét: Đây là một đề thi dễ so với một trường Đại học có trường thống mạnh về Olympic toán sinh viên như KTQD. Nhưng cũng dễ hiểu vì đây mới chỉ là vòng một.

Những bài toán trên chủ yếu là toán sơ cấp như các câu 1b, 2, 3, 4, 6, chỉ có câu 1a, 5 là thuộc Đại học.

Câu 3 mình nhớ không nhầm là đề thi VMO năm nào đó.

Mọi người cùng vào thảo luận nhé.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi xusinst: 08-01-2012 - 22:41

[caubeyeutoan2302]

Câu 3: Với mỗi n thuộc N* , xét hàm số : $ f_n(x)=\frac{1}{2x}+\frac{1}{x-1}+\frac{1}{x-4}+............+\frac{1}{x-n^2} $

Ta có đây là hàm liên tục và nghịch biến trên đoạn (0;1). Mặt khác , ta có $ limf_n(x) $ là cộng vô cực (x tiến đến 0+) và $limf_n(x)$ là trừ vô cực ( x tiến đến 1-) , do đó theo lí thuyết hàm liên tục nghịch biến ta có đpcm

Ta chứng minh tiếp dãy $x_n$ đơn điệu giảm và bị chặn dưới bởi 0 , nên tồn tại giới hạn hữu hạn , và suy ra điều phải cm

Anh Thành post lời giải lên giúp em được không ạ , Cám ơn anh

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi caubeyeutoan2302: 27-01-2012 - 12:43

[alex_hoang]

Bạn này chưa rì đã xử mất bài 3 rùi
Làm câu 1b
Xét hàm số $$f(x) = \frac{{{x^3}}}{3} - \frac{{{x^2}}}{2} + x - \ln (x + 1)\left( {\forall x > 0} \right)$$
$$f'(x) = {x^2} - x + 1 - \frac{1}{{x + 1}} = \frac{{{x^3}}}{{x + 1}} > 0\left( {\forall x > 0} \right)$$
Vậy hàm số $f(x)$ làm hàm số đồng biến
Vậy $$f(x) > f(0) = 0$$
Bất đẳng thức được chứng minh

[alex_hoang]

Bài 2
Ta xét hàm số
$$f(n) = (n + \frac{1}{2})\ln \left( {1 + \frac{1}{n}} \right)\left( {\forall n \ge 1} \right)$$
$$f'(n) = \ln \left( {1 + \frac{1}{n}} \right) - (n + \frac{1}{2})\frac{1}{{n + {n^2}}} < 0$$
Vậy $f(x)$ là hàm số nghịch biến
Từ đây ta dẽ suy ra điều cần chứng minh

[alex_hoang]

Bài 4
Xét hàm số
$g(x)=f(x)+x-1$
Dễ thấy hàm số này liên tục và có nghiệm thuộc $[0,1]$ do $g(0).g(1)<0$
Vậy tồn tại $c $ thuộc đoạn $[0,1]$ sao cho
$g(c)=0$ hay là
$f(c)=1-c$
Mà theo $Lagrange$ thì
Tồn tại $a$ thuộc $[0,c]$ và $b$ thuộc $[c,1]$ sao cho
$$f'(a) = \frac{{f(c) - f(0)}}{{c - 0}} = \frac{{1 - c}}{c}$$
$$f'(b) = \frac{{f(1) - f(c)}}{{1 - c}} = \frac{c}{{1 - c}}$$
Từ đó dễ suy ra đpcm

[dtvanbinh]

câu 1a dùng L'Hopital
câu 5 dùng cauchy-schwat cho f(x) va 3x-1
câu 2 cần chứng minh n tăng thì u(n) giảm.đặt f(n)=u(n)
cần chứng minh f(n) nghịch biến
đặt g(n)=f'(n)
lim g(n)=0 khi n->vô cùng
ta có g'(n)>0 nên g(n)<0 ta có đpcm

[dtvanbinh]

bài 6 có f(1)=-f(-1)
f(1)=f(0)+1
f(0)=f(-1)+1
nên f(0)=0 f(1)=1
c/m f(x)=x theo quy nạp
g/s f(k)=k
ta có f(k+1)=f(k)+1=k+1 có dpcm
thấy thỏa mãn điều kiện 1 3 nên f(x)=x là hàm cần tìm

[dtvanbinh]

mình có ý kiên chút về câu 5.ai có thể nói rõ cách chọn hàm g(x) không.chứ cứ ngồi test để chọn điểm rơi chẳng may gặp bài phức tạp thì ẻo mất.bạn nào biết liên hệ yahoo mình nhá [email protected]ình bên bk

[analysis90]

Assumming $g(x)=ax+b$ such that $\int_0^1g(x)dx=\int_0^1xg(x)=1$. Hence, $g(x)=6x-2$.
We have $\int_0^1(f(x)-6x+2)^2dx\geq 0$, but $\int_0^1(f(x)-6x+2)^2dx=\int_0^1(f(x))^2dx-4$

[duong vi tuan]

Assumming $g(x)=ax+b$ such that $\int_0^1g(x)dx=\int_0^1xg(x)=1$. Hence, $g(x)=6x-2$.
We have $\int_0^1(f(x)-6x+2)^2dx\geq 0$, but $\int_0^1(f(x)-6x+2)^2dx=\int_0^1(f(x))^2dx-4$

Anh ơi , làm sao biết mà chọn đc vậy . co' pahir là dùng pp hệ số bất định ko ?

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi duong vi tuan: 24-02-2012 - 09:43

[Ban Biên Tập]

ĐỀ THI CHỌN ĐỘI TUYỂN OLYMPIC TOÁN SINH VIÊN 2012 ĐH KTQD

Câu 1. Cho dãy số $x_1 = 2; x_{n+1}=\sqrt{x_n+\frac{1}{n}},\forall n \geq 1$. Chứng minh rằng: $\lim_{x\rightarrow +\infty} x_n=1$ và tìm $\lim_{x\rightarrow +\infty} x_n^n$


Câu 2. Cho $f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$ là hàm số liên tục. Với mỗi $x \in \mathbb{R}$, ta xác định hàm số:
$$g(x)=f(x)\left ( \int_{0}^{x}f(t)dt \right )^{2011}$$
Chứng minh rằng nếu $g(x)$ là hàm không tăng thì $f(x) = 0, \forall x \in \mathbb{R}$.


Câu 3. Cho hàm số $f:\left [ a;b \right ]\rightarrow \mathbb{R}$ có $f'$ liên tục trên $\left [ a;b \right ]$ và $\exists x_0 \in (a;b]$ sao cho $f'(x_0) = 0$. Chứng minh rằng tồn tại số $c \in (a;b)$ sao cho:
$$f'(c\ )=\dfrac{f(c\ )-f(a)}{b-a}$$


Câu 4. Tìm tất cả các hàm số $f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$ sao cho:
$$f\left ( f\left ( f(x) \right ) \right )=x,\forall x \in \mathbb{R}$$

Câu 5. Cho $f:[0;+\infty) \rightarrow (0;+\infty)$ là hàm số liên tục thỏa mãn $\lim_{x\rightarrow \infty}\int_{0}^{x}f(t)dt$ tồn tại, hữu hạn. Chứng minh rằng:
$$\lim_{x\rightarrow \infty}\frac{1}{\sqrt{x}}\int_{0}^{x}\sqrt{f(t)}dt=0$$

Câu 6. Giả sử hàm số $f$ có đạo hàm đến cấp $n$ liên tục trên $[a;b]$ và phương trình $f(x) = 0$ có không ít hơn $n$ nghiệm thuộc $[a;b]$. Chứng minh rằng:
$$\max_{x \in [a;b]}\left | f(x) \right | \leq \frac{(b-a)^n}{n!}\max_{x \in [a;b]}\left | f^{(n)}(x) \right | $$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Ban Biên Tập: 01-03-2012 - 00:00

[khacduongpro_165]

Câu 6. Giả sử hàm số $f$ có đạo hàm đến cấp $n$ liên tục trên $[a;b]$ và phương trình $f(x) = 0$ có không ít hơn $n$ nghiệm thuộc $[a;b]$. Chứng minh rằng:

$$\max_{x \in [a;b]}\left | f(x) \right | \leq \frac{(b-a)^n}{n!}\max_{x \in [a;b]}\left | f^{(n)}(x) \right | $$

Với mỗi $x_0\neq x_i, i=1...n$, đặt $g(x)=f(x)-f(x_0)\frac{(x-x_1)(x-x_2)...(x-x_n)}{(x_0-x_1)(x_0-x_2)...(x_0-x_n)}$].
Ta có $g^{(n)}(x)=f^{(n)}(x)-\frac{n!f(x_0)}{(x_0-x_1)(x_0-x_2)...(x_0-x_n)}$ và phương trình $g(x)=0$ có $n$ nghiệm phân biệt nên tồn tại $c\in[a,b]$ sao cho $g^{(n)}( c )=0$
Hay $f^{(n)}( c )=\frac{n!f(x_0)}{(x_0-x_1)(x_0-x_2)...(x_0-x_n)}$], suy ra $|f(x_0)|=\frac{|f^{(n)}( c )|}{n!}(x_0-x_1)(x_0-x_2)...(x_0-x_n)\leq \frac{(b-a)^n}{n!}\max_{x \in [a;b]}\left | f^{(n)}(x) \right | $

Bởi vì $|x_0-x_i|\leq |a-b|$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi khacduongpro_165: 02-03-2012 - 16:10

[analysis90]

Problem 2. We have $g(0)=0$ and $g(x)$ be a continuous. Integral both sides, we get
$\int_0^xg(y)dy=(\int_0^yf(t)dt)^{2012}\geq 0$.
Assign $h(x)=\int_0^xg(t)dt$. So, we have $h'(x)=g(x)$.
Because $g(x)$ be a nonincreasing, so $g(x)\leq g(0),\forall x\in[0,+\infty)$. Therefore
$h'(x)\leq 0,\forall x\in[0,+\infty)$ or $h(x)\leq h(0)=0,\forall x\in[0,+\infty)$
Implies
$h(x)=0,\forall x\in[0,+\infty)$.
Similarly for $x\in(-\infty,0]$. We have $h(x)=0$ or $g(x)=0,\forall x\in \mathbb{R}$.
When $\int_0^xf(t)dt=0,\forall x\in\mathbb{R}$. Easily, we prove that $f(x)=0$

[viet 1846]

bài 6 có f(1)=-f(-1)
f(1)=f(0)+1
f(0)=f(-1)+1
nên f(0)=0 f(1)=1
c/m f(x)=x theo quy nạp
g/s f(k)=k
ta có f(k+1)=f(k)+1=k+1 có dpcm
thấy thỏa mãn điều kiện 1 3 nên f(x)=x là hàm cần tìm

Câu này có thể tính $f(\frac{x+1}{x})$ theo hai cách.

[tienduydh]

Assumming $g(x)=ax+b$ such that $\int_0^1g(x)dx=\int_0^1xg(x)=1$. Hence, $g(x)=6x-2$.
We have $\int_0^1(f(x)-6x+2)^2dx\geq 0$, but $\int_0^1(f(x)-6x+2)^2dx=\int_0^1(f(x))^2dx-4$

[tienduydh]

Dòng cuối suy ra -4 như nào vậy nhỉ...