Chủ đề này có 211 trả lời

[Yagami Raito]

Cho em hỏi bài này đưa ra mọi người cùng thảo luận
Chứng minh rằng tổng bình phương của 3 số nguyên tố lớn hơn 3 không thể là số nguyên tố

[HongNhung2012]

số $3^{2012}+1$ có là tích của hai số tự nhiên liên tiếp không? tai sao?

[Daoxiang97]

1. Tìm số nguyên tố p sao cho p + 6, p + 8, p + 12, p + 14 là các số nguyên tố.
2. Chứng minh rằng nếu n và $n^2+2$ là các số nguyên tố thì $n^3+2$ cũng là số nguyên tố.
3. Chứng minh rằng nếu a, a + k, a + 2k (a,k thuộc N* ) là các số nguyên tố lớn hơn 3 thì k chia hết cho 6.
4. Cho p, q là hai số nguyên tố, chứng minh rằng $p^2-q^2$ chia hết cho 24.
5. Một số nguyên tố p chia cho 42 có dư là một hợp số r. Tìm r.
6. Chứng minh rằng số 11...121...1 là hợp số (n chữ số 1 bên trái và n chữ số 1 bên phải) với n$\geq 1$
7. Tìm n sao cho 10101…0101 (n chữ số 0 và n + 1 chữ số 1 xen kẽ nhau) là số nguyên tố.
8. Cho n thuộc N*, chứng minh các số sau là hợp số:
a) A = 2^(2^(2n+1)) + 3 b) B = 2^(2^(4n+1)) + 7 c) C = 2^(2^(6n+2)) + 13
9. p là số nguyên tố lớn hơn 5, chứng minh $p^4\equiv 1$ (mod 240)
10. Chứng minh rằng dãy $a_n =10^n+3$ có vô số hợp số.
11. Chứng minh rằng với mỗi số nguyên tố p có vô số số dạng $2^n-n$ chia hết cho p
12. Tìm n thuộc N* để $n^3-n^2+n-1$ là số nguyên tố.
13. Tìm các số x, y thuộc N* sao cho $x^4+4y^4$ là số nguyên tố.
14. Tìm tất cả các số nguyên tố p có dạng $\frac{n(n+1)(n+2)}{6}+1$ (n $\geq$ 1).
15. Cho n thuộc N*, chứng minh A = $n^4+4^n$ là hợp số với n > 1.

[Dung Dang Do]

Bài 3 ở đây:
http://diendantoanho...-thi-k-vdots-6/
Bài 12 là định lý Fermat nhỏ mà

[nguyenta98]

6. Chứng minh rằng số 11...121...1 là hợp số (n chữ số 1 bên trái và n chữ số 1 bên phải) với n$\geq 1$
7. Tìm n sao cho 10101…0101 (n chữ số 0 và n + 1 chữ số 1 xen kẽ nhau) là số nguyên tố.
10. Chứng minh rằng dãy $a_n =10^n+3$ có vô số hợp số.
11. Chứng minh rằng với mỗi số nguyên tố p có vô số số dạng $2^n-n$ chia hết cho p
13. Tìm các số x, y thuộc N* sao cho $x^4+4y^4$ là số nguyên tố.
14. Tìm tất cả các số nguyên tố p có dạng $\frac{n(n+1)(n+2)}{6}+1$ (n $\geq$ 1).
15. Cho n thuộc N*, chứng minh A = $n^4+4^n$ là hợp số với n > 1.

Giải như sau:
Bài 6: Chứng minh chia hết cho $111...11$ với $n+1$ chữ số $1$
Bài 7: Với $n=1$ đúng
Với $n\geq 2$
$1010101...01=\dfrac{9999..999}{99}$ ($2n+2$ số 9)
$=\dfrac{10^{2n+2}-1}{99}$
TH1: $n+1$ lẻ suy ra $\dfrac{10^{2n+2}-1}{99}=\dfrac{10^{n+1}-1}{9}.\dfrac{10^{n+1}+1}{11}$
Ta thấy $\dfrac{10^{n+1}-1}{9}$ là số nguyên lớn hơn $1$ và do $n+1$ lẻ nên $\dfrac{10^{n+1}+1}{11}$ cũng nguyên lớn hơn $1$
Do đó $10101...01$ là hợp số loại!
TH2: $n+1$ chẵn suy ra $\dfrac{10^{2n+2}-1}{99}=\dfrac{10^{n+1}-1}{99}.(10^{n+1}+1)$
Do $n+1$ chẵn nên $\dfrac{10^{n+1}-1}{99}$ là số nguyên lớn hơn $1$ suy ra $10101..01$ là hợp số, loại
Vậy $\boxed{n=1}$
Bài 10: Xét một số $a_1=10^1+3=13$
Ta sẽ cm tồn tại vô số số có dạng $10^k+3 \vdots 13$
Thật vậy $10^k+3 \vdots 13 \Leftrightarrow 10^k-10 \vdots 13 \Leftrightarrow 10^{k-1}-1 \vdots 13$
Theo định lý Fermat nhỏ suy ra $10^{12}-1 \vdots 13$ do đó chọn $k-1=12t \Rightarrow k=12t+1$ khi ấy $a_k$ là hợp số suy ra có vô số số là hợp số có dạng $a_k$ đpcm
Bài 11:
Ta chọn $n=(p-1)^{2t}$ suy ra $2^{(p-1)^{2t}}=(2^{(p-1)^{2t-1}})^{p-1} \equiv 1 \pmod{p}$ (Fermat nhỏ)
Suy ra $2^n-n=2^{(p-1)^{2t}}-(p-1)^{2t} \equiv 1-1 \equiv 0 \pmod{p}$ do đó có vô số số $n$ có dạng $(p-1)^{2t}$ thỏa đề
Bài 13: Chú ý đẳng thức $x^4+4y^4=(x^2-2xy+2y^2)(x^2+2xy+2y^2)$
Bài 14: $p=\dfrac{n(n+1)(n+2)}{6}+1=\dfrac{n(n+1)(n+2)+6}{6}=\dfrac{(n+3)(n^2+2)}{6}$
Đến đây đã dễ dàng
Bài 15: $n^4+4^n$ nếu $n$ chẵn thì mọi việc xong, suy ra $n$ lẻ nên $n=2k+1$
Suy ra $n^4+4^n=n^4+4.4^{n-1}=n^4+4.2^{2(n-1)}=n^4+4.2^{2(2k-2)}=n^4+4.(2^{k-1})^4$ đến đây quay lại bài $13$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi nguyenta98: 17-10-2012 - 18:08

[Daoxiang97]

Đề có thể sai xót, tại tài liệu hơi cũ ròi. Mấy bạn thẩy sửa lại đề giúp!

[TungTP]

Bài toán: Tìm p nguyên tố sao cho p + 10 và p + 114 cũng nguyên tố.

[Khanh 6c Hoang Liet]

Bài 3: Tìm tất cả các số nguyên tố p sao cho mỗi số vừa là tổng vừa là hiệu của 2 số nguyên tố

Em xin giải :
Đặt $p = a + b = c - d$ với $p, a, b, c, d \in \mathbb{P}$ và $a \geq b ; c > d$.
Ta có :
Do $p$ là tổng của $2$ số nguyên tố nên $p > 2$ $\Rightarrow p$ lẻ.
Do $p$ lẻ nên trong hai số $c ; d$ sẽ có một số là $2$, mà $c > d$ nên $d = 2$.
Do $p$ lẻ nên trong hai số $c ; d$ sẽ xảy ra hai trường hợp :
$TH1 : a = b = 2$, loại vì khi đó $p = 4 \Rightarrow p \notin \mathbb{P}$.
$TH2 : a > b \Rightarrow b = 2$, chọn.
Vậy $p = a + 2 = c - 2$ $\leftrightarrow a + 2 = p$ $;$ $p + 2 = d$ hay $a, p, d$ là ba số nguyên tố lẻ liên tiếp.
Mà chỉ có $3$ số $3, 5, 7$ là phù hợp.
$\Rightarrow \left ( a ; p ; d \right ) = \left ( 3 ; 5 ; 7 \right )$
Vậy, $\boxed{p = 5}$.

[NLT]

jup em voi toan 6 day!@@
Cho p là số nguyên tố lớn hơn 3.Chứng minh:(p+5)(p+7)chia hết cho 24.

Đơn giản chỉ là chứng minh $(p+5)(p+7)$ chia hết cho $3,8$.
Để ý rằng $p>3$, $p$ nguyên tố nên $p$ chia $3$ chỉ có thể dư $1$ hoặc $2$, từ đó dẫn đến hoặc $p+5 \vdots 3$ hoặc $p+7 \vdots 3$.
Và cũng từ giả thiết suy ra $p$ lẻ $\to$ $p+5$ và $p+7$ là 2 số chẵn liên tiếp $\to$ $(p+5)(p+7) \vdots 8$
Do $\gcd(3,8)=1$ nên $(p+5)(p+7) \vdots 24 (Q.E.D)$
___
NLT

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Nguyen Lam Thinh: 15-11-2012 - 18:58

[Oral1020]

da the cho em hoi gcd la j a?

Ước chung đó em

[Oral1020]

Góp một bài:
Bài toán:Tìm số nguyên tố có ba chữ số,biết rằng nếu viết số đó theo thứ tự ngược lại.Ta được lập phương của một số tự nhiên.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Oral1020: 15-11-2012 - 19:35

[Khanh 6c Hoang Liet]

Góp một bài:
Bài toán:Tìm số nguyên tố có ba chữ số,biết rằng nếu viết số đó theo thứ tự ngược lại.Ta được lập phương của một số tự nhiên.

Gọi số cần tìm là $\overline{abc}$ với $\overline{abc}$ $\in \mathbb{P}$ ; $a , b , c \in \mathbb{N}$ và $a \neq 0$.
Ta có :
$\overline{cba} = n^{3} \left ( n \in \mathbb{N^{*}} \right )$
Vì $100 \leqslant n^{3} \leqslant 999 \Leftrightarrow 5 \leqslant n \leqslant 9$
Sau khi thử ta thu được $n = 5$.
Số cần tìm là $521$.

[Khanh 6c Hoang Liet]

Góp thêm một bài :
Chứng minh hai số tự nhiên liên tiếp nguyên tố cùng nhau.

[Oral1020]

Góp thêm một bài :
Chứng minh hai số tự nhiên liên tiếp nguyên tố cùng nhau.

Vì hai số liên tiếp sẽ có dạng $2k$ và $2k+1$
giả sử $(2k,2k+1)=d$
$\Rightarrow 2k-2k+1 \vdots d$
$\Rightarrow 1 \vdots d$
Vậy $d=+-1$
Vậy hai số tự nhiên liên tiếp là hai số nguyên tố cùng nhau

[Oral1020]

Bài toán:Chứng minh rằng số dư trong phép chia một số nguyên tố cho 30 là 1 hoặc một số nguyên tố
----------------------------------------------------------------------
Sao vắng thế.Từ đây đến ngày mai không ai giải thì mình giải nhé!

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Oral1020: 17-11-2012 - 14:06

[Oral1020]

Giải:
Gọi $p$ là số nguyên tố bất kì và $p$ biểu diễn được dưới dạng $30k+r$ $(k,r \in \mathbb{N},r<30)$
Nếu $k=0$ thì $r=p$ là số nguyên tố(1)
Nếu $k>0$thì $p\ge 30$.Như vậy $r$ phải khác ược của 30
Ta tìm được $r=1;7;11;13;17;19;23;29$(2)
Từ $(1)$ và $(2)$$\Rightarrow$ dpcm

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Oral1020: 18-11-2012 - 14:33

[Khanh 6c Hoang Liet]

jup em voi toan 6 day!@@
Cho p là số nguyên tố lớn hơn 3.Chứng minh:(p+5)(p+7)chia hết cho 24.

Ta cần chứng minh $A = \left ( p + 5 \right )\left ( p + 7 \right )$ $\vdots$ $3$ $;$ $8$.
Vì $p \in \mathbb{P}$ và $p > 3$ $\Rightarrow p$ là số lẻ và $p + 5$ $;$ $p + 7$ là hai số chẵn liên tiếp.
$\Rightarrow p$ được biểu diễn dưới dạng $3k + 1$ hoặc $3k + 2$
Xét từng trường hợp :
$1)$ Với $p = 3k + 1$ cho ta $p + 5 = 3k + 6$ $\vdots$ $3$
Mà $p + 5$ $;$ $p + 7$ là hai số chẵn liên tiếp nên $A$ $\vdots$ $8$.
Vậy $A$ $\vdots$ $24$.
$2)$ Với $p = 3k + 2$ cho ta $p + 7 = 3k + 9$ $\vdots$ $3$
Mà $p + 5$ $;$ $p + 7$ là hai số chẵn liên tiếp nên $A$ $\vdots$ $8$.
Vậy $A$ $\vdots$ $24$.

Cả hai trường hợp đều thỏa mãn $\rightarrow$ đ.p.c.m

[Khanh 6c Hoang Liet]

Chứng minh rằng có vô hạn số nguyên tố.

[Oral1020]

Giả sử chỉ có hữu hạn số nguyên tố là $p_1$ $,$ $p_2$ $,$ $...$ $,$ $p_n$ trong đó $p_n$ là số nguyên tố lớn nhất.Xét số $A = p_{1}p_{2}p_{3}...p_{n} + 1$. Khi đó $A$ chia cho mỗi số nguyên tố $p_{i}$ $\left ( 1 \leqslant i \leqslant n \right )$. $(1)$
Mặt khác $A$ là hợp số (vì nó lớn hơn số nguyên tố lớn nhất là $p_n$) $(2)$.
Ta thấy $(2)$ mâu thuẫn với $(1)$
$\Rightarrow$ Không thể có hữu hạn số nguyên tố.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi tramyvodoi: 07-12-2012 - 20:37

[Oral1020]

Bài toán :Tìm tất cả các số nguyên tố $p$ sao cho $2^{11p}-2 \vdots 11p$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Oral1020: 18-11-2012 - 22:23