Giải hệ phương trình (H) sau đây:
$\left\{ \begin{array}{l}
{\rm{y}}\sin x = {\log _2}\left| {\frac{{{\rm{y}}\sin x}}{{1 + 3y}}} \right|(1)\\
\left( {6{y^2} + 2y} \right)\left( {{4^{{{\sin }^2}x}} + {4^{c{\rm{o}}{{\rm{s}}^2}x}}} \right)=25y^2+6y+1(2)\\
\left| y \right| \le 1(3)
\end{array} \right.$
Giải:
Đặt: $a = {4^{{{\sin }^2}x}} + {4^{c{\rm{o}}{{\rm{s}}^2}x}}$
$\left( 2 \right) \Leftrightarrow \left( {25 - 6a} \right){y^2} + \left( {6 - 2a} \right)y + 1 = 0$
Nếu $a = \frac{{25}}{6}$ thì (2) có nghiệm $y = \frac{3}{4} \Rightarrow \left( 1 \right)$ có dạng
$\frac{3}{7}{\mathop{\rm s}\nolimits} {\rm{inx}} = {\log _2}\left| {\frac{{3{\mathop{\rm s}\nolimits} {\rm{inx}}}}{{16}}} \right|$. Lúc này (1) vô nghiệm vì:
$\frac{3}{7}{\mathop{\rm s}\nolimits} {\rm{inx}} \ge {\rm{ - }}\frac{3}{7}$
${\log _2}\left| {\frac{{3{\mathop{\rm s}\nolimits} {\rm{inx}}}}{{16}}} \right| \le {\log _2}\left( {\frac{3}{{16}}} \right) < {\log _2}\left( {\frac{4}{{16}}} \right) = - 2$
Nếu $a \ne \frac{{25}}{6}$
${\Delta _2} = {a^2} - 16 = {\left( {{4^{{{\sin }^2}x}} + {4^{c{\rm{o}}{{\rm{s}}^2}x}}} \right)^2} - 16 = {\left( {{4^{{{\sin }^2}x}} - {4^{c{\rm{o}}{{\rm{s}}^2}x}}} \right)^2}$
và (2) có 2 nghiệm: $y = \frac{{a - 3 \pm \sqrt {{a^2} - 16} }}{{25 - 6a}}$
Hệ (H) $ \Leftrightarrow \left( {{H_1}} \right)$ hoặc $\left( {{H_2}} \right)$
$\left( {{H_1}} \right)\left\{ \begin{array}{l}
{y_1} = \frac{{{{2.4}^{{{\sin }^2}x}} - 3}}{{25 - 6\left( {{4^{{{\sin }^2}x}} + {4^{c{\rm{o}}{{\rm{s}}^2}x}}} \right)}}(2)\\
{\rm{y}}\sin x = {\log _2}\left| {\frac{{{\rm{y}}\sin x}}{{1 + 3y}}} \right|(1)\\
\left| y \right| \le 1(3)
\end{array} \right.$
$\begin{array}{l}
\frac{{1 + 3y}}{y} = \frac{1}{y} + 3 = 3 + \frac{{25 - {{6.4}^{c{\rm{o}}{{\rm{s}}^2}x}} - {{6.4}^{{{\sin }^2}x}}}}{{{{2.4}^{{{\sin }^2}x}} - 3}}\\
= \frac{{{{6.4}^{{{\sin }^2}x}} - 9 - {{6.4}^{c{\rm{o}}{{\rm{s}}^2}x}} - {{6.4}^{{{\sin }^2}x}} + 25}}{{{{2.4}^{{{\sin }^2}x}} - 3}}\\
= \frac{{16 - {{6.4}^{c{\rm{o}}{{\rm{s}}^2}x}}}}{{{{2.4}^{{{\sin }^2}x}} - 3}} = \frac{{{{2.4}^{c{\rm{o}}{{\rm{s}}^2}x}}\left( {{{2.4}^{{{\sin }^2}x}} - 3} \right)}}{{{{2.4}^{{{\sin }^2}x}} - 3}} = {2.4^{c{\rm{o}}{{\rm{s}}^2}x}}
\end{array}$
$\begin{array}{l}
{\log _2}\left| {\frac{{{\rm{y}}\sin x}}{{1 + 3y}}} \right| = {\log _2}\left| {\sin x} \right| - {\log _2}\left| {\frac{{1 + 3y}}{y}} \right|\\
= {\log _2}\left| {\sin x} \right| - {\log _2}{2.4^{{{\cos }^2}x}} = {\log _2}\left| {\sin x} \right| - 1 - 2{\cos ^2}x\\
{\log _2}\left| {\frac{{y\sin x}}{{1 + 3y}}} \right| = {\log _2}\left| {\sin x} \right| - 1 - 2{\cos ^2}x \le - 1\\
\left| y \right| \le 1 \Rightarrow \left| {y\sin x} \right| \le 1 \Rightarrow y\sin x \ge - 1
\end{array}$
Vậy nên $\left( 1 \right)$ chỉ thõa mãn $ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
y\sin x = - 1\\
{\log _2}\left| {\sin x} \right| = 0\\
\cos x = 0
\end{array} \right.$
$ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
\sin x = 1\\
y = - 1
\end{array} \right.$
hoặc
$ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
\sin x = - 1\\
y = 1
\end{array} \right.$
Thay những giá trị này vào cả 3 phương trình của $\left( {{H_1}} \right)$ các phương trình được nghiệm đúng.
$\left( {{H_1}} \right)$ có nghiệm
$\left\{ \begin{array}{l}
y = - 1\\
x = \frac{\pi }{2} + k2\pi
\end{array} \right.$
hoặc
$\left\{ \begin{array}{l}
y = 1\\
x = - \frac{\pi }{2} + k2\pi
\end{array} \right.$
$\left( {{H_2}} \right)\left\{ \begin{array}{l}
{y_2} = \frac{{{{2.4}^{{{\cos }^2}x}} - 3}}{{25 - 6\left( {{4^{{{\sin }^2}x}} + {4^{{{\cos }^2}x}}} \right)}}\\
y\sin x = {\log _2}\left| {\frac{{y\sin x}}{{1 + 3y}}} \right|\\
\left| y \right| \le 1
\end{array} \right.$
Tương tự như trên, ta có: $\frac{{3y + 1}}{y} = {2.4^{{{\sin }^2}x}}$
$ \Rightarrow {\log _2}\left| {\frac{{y\sin x}}{{1 + 3y}}} \right| = {\log _2}\left| {\sin x} \right| - 1 - 2{\sin ^2}x \le - 1$
Mà: \[{\rm{y}}\sin x \ge - 1\]
Vậy chỉ có thể \[\left\{ \begin{array}{l}
{\rm{y}}\sin x = - 1\\
{\mathop{\rm s}\nolimits} {\rm{inx}} = 0\\
{\log _2}\left| {{\mathop{\rm s}\nolimits} {\rm{inx}}} \right| = 0
\end{array} \right.(VN)\]
Tập nghiệm của hệ H:
\[\left\{ \begin{array}{l}
y = - 1\\
x = \frac{\pi }{2} + k2\pi
\end{array} \right.\]
hoặc
\[\left\{ \begin{array}{l}
y = 1\\
x = - \frac{\pi }{2} + k2\pi
\end{array} \right.\]
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Ispectorgadget: 29-02-2012 - 21:29