Chủ đề này có 1 trả lời

[NeverSayLove]

Gọi H là trực tâm của tam giác đều ABC . Đường cao AD. Lấy M bất kì thuộc cạnh BC. Gọi E, F theo thứ tự là hình chiếu của M trên AB, AC. Gọi I là trung điểm của AM.
a, Xác định dạng của tứ giác DEIF.
b, CMR các đường thẳng MH, ID, EF đồng quy.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi NeverSayLove: 11-03-2012 - 14:48

[minhhieu070298vn]

a)Xét $\Delta AEM$ có $\widehat{E}=90^{\circ}$, có EI là trung tuyến nên $EI=AI=MI$.
Do đó $\Delta AIE$ cân tại I$\Rightarrow \widehat{EIM}=2\widehat{IAE}$
Chứng minh tương tự có $\widehat{DIM}=2\widehat{IAD}$
$\Rightarrow \widehat{EIM}+\widehat{MID}=2(\widehat{EAI}+\widehat{IAD})$
Hay $\widehat{EID}=2\widehat{EAD}=2.30^{\circ}=60^{\circ}$
Lại có $EI=DI=\frac{1}{2}AM$$\Rightarrow \Delta EID$ cân tại I. Mà $\widehat{EID}=60^{\circ}$
$\Rightarrow \Delta EID$ đều.
Chứng minh tương tự có: $\Delta FID$ đều.
Do đó: $EI=IF=FD=DE$$\Rightarrow$ tứ giác IFDE là hình thoi
b)Gọi N là trung điểm của AH.
Có $\Delta ABC$ đều nên H là trực tâm cũng là trọng tâm $\Delta ABC$
$\Rightarrow AN=NH=HD$/
Có IN là đường trung bình $\Delta AMH$ nên IN//MH(1).
Có KH là đường trung bình $\Delta IND$ nên KH//IN(2).
Từ (1) và (2) suy ra: MK trùng KH(3)
Mà tứ giác IFDE là hình thoi nên $ID\cap EF={K}$.Hay $MK,ID,EF$ đồng quy tại K(4)
Từ (3) và (4) suy ra: $MH,ID,EF$ đồng quy tại K