Chủ đề này có 5 trả lời

[mathfan]

 ĐÊ THI HOC SINH GIOI LOP 10.doc   34.5K   1236 Số lần tải  ĐÊ THI HOC SINH GIOI LOP 10.doc   34.5K   1236 Số lần tải

[NLT]

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HẢI DƯƠNG

KÌ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TỈNH LỚP 10 THPT NĂM HỌC 2011-2012

MÔN THI: TOÁN

[right]Thời gian làm bài: 180 phút

Câu 1

(2 điểm)

a) Cho hàm số y=x² + 2mx - 3m và hàm số y=-2x + 3. Tìm m để đồ thị các hàm số đó cắt nhau tại hai điểm phân biệt và hoành độ của chúng đều dương.
b) Giải bất phương trình:$\sqrt { - {x^2} + 8x - 12}$> 10-2x
Câu 2 (2 điểm)
a) Giải phương trình: (4x³ - x + 3)³ - x³ =1,5

b) Giải phương trình: 2x² - 11x + 23 = 4$\sqrt {x + 1} $
Câu 3 (2 điểm)
a) Trong mặt phẳng toạ độ Oxy cho điểm M(1;4). Đường thẳng d qua M, d cắt trục hoành tại A(hoành độ của A dương), d cắt trục tung tại B(tung độ của B dương). Tìm giá trị nhỏ nhất của diện tích tam giác OAB.
b) Trong mặt phẳng toạ độ Oxy cho đường tròn ©: (x - 2)² + (y + 3)² = 9 và điểm A(1;-2). Đường thẳng$\Delta $qua A, $\Delta $ cắt © tại M và N. Tìm giá trị nhỏ nhất của độ dài đoạn thẳng MN.
Câu 4 (3điểm)
a) Chứng minh rằng tứ giác lồi ABCD là hình bình hành khi và chỉ khi
AB² + BC² + CD² + DA² = AC² + BD².
b) Tìm tất cả các tam giác ABC thoả mãn:$\frac{1}{{h_a^2}} = \frac{1}{{{b^2}}} + \frac{1}{{{c^2}}}$ (trong đó AB=c; AC=b; đường cao qua A là h_a).
Câu 5 (1 điểm)
Cho a, b, c là các số thực dương. Chứng minh rằng:
$\frac{{2a}}{{b + c}} + \frac{{2b}}{{c + a}} + \frac{{2c}}{{a + b}} \ge 3 + \frac{{{{(a - b)}^2} + {{(b - c)}^2} + {{(c - a)}^2}}}{{{{(a + b + c)}^2}}}$
------------

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Nguyen Lam Thinh: 14-05-2012 - 22:52

[Crystal]

Câu 2.a:
http://diendantoanho...showtopic=71896

Câu 5:
http://diendantoanho...showtopic=72179

---

[Phạm Hữu Bảo Chung]

Câu 1:
a, Hoành độ giao điểm (nếu có) của 2 đồ thị nói trên là nghiệm của phương trình:
$x^2 + 2mx - 3m = -2x + 3$
$\Leftrightarrow x^2 + 2x(m + 1) - 3m - 3 = 0 \,\,\, (1)$
Đồ thị các hàm số đó cắt nhau tại 2 điểm phân biệt và hoành độ của chúng đều dương khi phương trình (1) có 2 nghiệm phân biệt dương.
Điều này đồng nghĩa với:
$\left\{\begin{array}{l}\Delta' = (m + 1)^2 - (-3m - 3) > 0\\S = -(m + 1) > 0\\P = -3m - 3 > 0\end{array}\right.$

$\Leftrightarrow \left\{\begin{array}{l}m^2 + 2m + 1 + 3m + 3 > 0\\m < -1\end{array}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{array}{l}m^2 + 5m + 4 > 0\\m < - 1\end{array}\right.$

$\Leftrightarrow \left\{\begin{array}{l}\left[\begin{array}{l} m < -4\\m > -1\end{array}\right.\\m < -1\end{array}\right. \Leftrightarrow m < -4$

Vậy $\forall m < - 4$, đồ thị các hàm số ban đầu cắt nhau tại 2 điểm phân biệt có hoành độ dương.

b, Bất phương trình ban đầu tương đương:
$\left[\begin{array}{l} \left\{\begin{array}{l}10 - 2x < 0\\-x^2 + 8x - 12 \geq 0\end{array}\right.\\\left\{\begin{array}{l}10 - 2x \geq 0\\-x^2 + 8x - 12 > (10 - 2x)^2\end{array}\right.\end{array}\right.$

$\Leftrightarrow \left[\begin{array}{l} \left\{\begin{array}{l}x > 5\\(x - 6)(x - 2) \leq 0\end{array}\right.\\\left\{\begin{array}{l}x \leq 5\\-x^2 + 8x - 12 > 100 - 40x + 4x^2\end{array}\right.\end{array}\right.$

$\Leftrightarrow \left[\begin{array}{l} \left\{\begin{array}{l}x > 5\\2 \leq x \leq 6\end{array}\right.\\\left\{\begin{array}{l}x \leq 5\\4 < x < \dfrac{29}{5}\end{array}\right.\end{array}\right.$

$\Leftrightarrow \left[\begin{array}{l} 5 < x \leq 6\\4 < x \leq 5\end{array}\right. \Leftrightarrow 4 < x \leq 6$
Vậy, tập nghiệm của BPT là: T = (4; 6]$
Câu 2.
b, ĐK: $x \geq -1$
Ta có:
$2x^2 - 11x + 23 = 4\sqrt{x + 1}$
$\Leftrightarrow (2x^2 -11x + 15) - 4\sqrt{x + 1} + 8$

$\Leftrightarrow (x - 3)(2x - 5) - 4.\dfrac{x - 3}{\sqrt{x + 1} + 2} = 0$

$\Leftrightarrow (x - 3)(2x - 5 - \dfrac{4}{\sqrt{x + 1} + 2}) = 0$

$\Leftrightarrow \left[\begin{array}{l} x = 3\\2x - 5 - \dfrac{4}{\sqrt{x + 1} + 2} = 0 \,\,\,\, (2)\end{array}\right.$

Ta có:
$(2) \Leftrightarrow 2x - 6 + (1 - \dfrac{4}{\sqrt{x + 1} + 2}) = 0$

$\Leftrightarrow 2(x - 3) + \dfrac{\sqrt{x + 1} - 2}{\sqrt{x + 1} + 2} = 0$

$\Leftrightarrow (x - 3)[2 + \dfrac{1}{(\sqrt{x + 1} + 2)^2}] = 0$

$\Leftrightarrow x = 3$ (do $2 + \dfrac{1}{(\sqrt{x + 1} + 2)^2} > 0 \forall \, x \geq -1$)

Nói tóm lại, phương trình ban đầu có nghiệm duy nhất x = 3
Câu 3.
a,
Đặt $A(a; 0); B(0; b)$. (a; b > 0)
Do d cắt Ox tại A, cắt Oy tại B. Do đó, phương trình đường thẳng d có dạng:

$\dfrac{x}{a} + \dfrac{y}{b} = 1$

Mặt khác, d đi qua $M(1; 4)$, suy ra:

$\dfrac{1}{a} + \dfrac{4}{b} = 1$

Ta thây:
$1 = \dfrac{1}{a} + \dfrac{4}{b} \geq \dfrac{4}{\sqrt{ab}} ( \forall \, a, b > 0)$

$\Rightarrow \sqrt{ab} \geq 4 \Leftrightarrow ab \geq 16$

Vì thế cho nên:
$S_{OAB} = \dfrac{|a|.|b|}{2} = \dfrac{ab}{2} \geq 8$

Kết luận: $Min_{S_{OAB}} = 8$

Dấu "=" xảy ra khi
$\left\{\begin{array}{l}\dfrac{1}{a} = \dfrac{4}{b}\\\dfrac{1}{a} + \dfrac{4}{b} = 1\end{array}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{array}{l}a = 2\\b = 8\end{array}\right.$

Khi đó: A(2; 0); B(0; 8)
b,
©: $(x - 2)^2 + (y + 3)^2 = 9$ có tâm I(2; -3); R = 3.
Ta thấy:
$IA = \sqrt{(1 - 2)^2 + (- 2 + 3)^2 } = \sqrt{2} \leq 3 = R$
Do đó: A nằm trong đường tròn.

- Gọi M, N là các điểm bất kỳ trên đường tròn sao cho A, M, N thẳng hàng. M', N' là các điểm thuộc đường tròn thỏa mãn: M', A, N' thẳng hàng và IA vuông góc với M'N'.
Ta chứng minh được: $MN \geq M'N'$
Thật vậy:
- Dễ thấy: $\bigtriangleup MAM' \sim \bigtriangleup N'AN (g.g)$
Do đó: $AM.AN = AM'.AN' = AM'^2 = R^2 - IA^2 = 9 - 2 = 7$
- Suy ra:
$MN = MA + NA \geq 2\sqrt{MA.NA} = 2\sqrt{7}$

Kết luận: $Min_{MN} = 2\sqrt{7}$

Dấu "=" xảy ra khi M trùng M', N trùng N'.
Khi đó: PTĐT $\Delta$ là: $-(x - 1) +(y + 2) = 0 \Leftrightarrow y = x - 3$

[vuihatca98]

bạn ơi cho mình hỏi câu 2b hướng tư duy ntn để làm đc như vậy thế, mình cảm ơn trước nhé

[NghiaDang]

bạn ơi cho mình hỏi câu 2b hướng tư duy ntn để làm đc như vậy thế, mình cảm ơn trước nhé

Mò trước thấy phương trình có nghiệm 3. Thay vào thấy $4\sqrt{x+1} =8$ nên khi nhóm $4\sqrt{x+1} -8 thì khi trục căn sẽ được nhân tử x-3.