Chủ đề này có 6 trả lời

[Dung Dang Do]

CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC BẰNG PHƯƠNG PHÁP HÌNH HỌC
Hình học là một công cụ để giải quyết được nhiều bài toán đại số, trong đó có bài toán bất đẳng thức. Tìm hiểu vấn đề này cho chúng ta thấy mối quan hệ giữa Hình học và Đại số trong Toán.

Hãy xuất phát từ một ví dụ đơn giản.

Ví dụ 1.(Bđt Cauchy trong trường hợp $n=2$)

Chứng minh rằng : Nếu $a,b$ là các số dương thì $\frac{a+b}{2}\ge \sqrt{ab}$

Chứng minh:

 BĐT.JPG   6.29K   54 Số lần tải

Vẽ nửa đường tròn đường kính $AB=a+b$.

Trên $AB$ lấy điểm H thoã mãn $AH=a,HB=b$.Từ $H$ kẻ đường vuông góc với $AB$ cắt đường tròn tại $C$ thì $CH=\sqrt{AH.AB}=\sqrt{ab}$

Hiển nhiên $CH$ ko lớn hơn bán kính đường tròn nên $\sqrt{ab}=CH \le \frac{1}{2}.AB=\frac{a+b}{2}$(đpcm).Đẳng thức xảy ra khi $CH$ là bán kính hay $H$ trùng tâm đường tròn, điều này chính là $a=b$

Ví dụ 2.

Chứng minh rằng: nếu $a>c,b>c$ và $c>0$ thì $\sqrt{c(a-c)}+\sqrt{c(b-c)} \le \sqrt{ab}.$

Chứng minh

 BĐT 2.JPG   6.4K   68 Số lần tải

Trên đường thẳng $d$ lấy lần lượt các điểm $B,H,C$ sao cho $BH=\sqrt{a-c},HC=\sqrt{b-c}.$Trên đường vuông góc với BC kẻ từ $H$ sao cho $HA=\sqrt{c}$

Sử dụng định lí Py-ta-go cho các tam giác vuông $AHB,AHC$ ta có:
$AB=\sqrt{a},AC=\sqrt{b}$. Do đó

$\sqrt{c(a-c)}+\sqrt{c(b-c)}=2(S_{ABH}+S_{ACH})$

$=2S_{ABC}=AB.AC.sin A \le AB.AC=\sqrt{ab}$ (Điều phải chứng minh)

Ví dụ 3:

Chứng minh rằng: nếu $0<a,b,c<1$ thì :$$a(1-c)+b(1-a)+c(1-b)<1$$

Chứng minh

Vẽ tam giác đều $ABC$ có độ dài cạnh bằng $1$. Trên các cạnh $AB,BC,CA$ lần lượt lấy các điểm $M,N,P$ sao cho $AM=a,BN=b,CP=c$.Vì $a,b,c$ thuộc $(0;1)$
Nên ta có được diện tích tam giác $MNP$ dương.

 BĐT3.JPG   9.9K   43 Số lần tải

Do đó $S_{AMP}+S_{BNM}+S_{CPN}<S_{ABC}$

$\iff \frac{1}{2}AM.Ap. sin A +\frac{1}{2}BN.BM. sin B+\frac{1}{2}CP.CN.sin C<\frac{\sqrt{3}}{4}$

$\iff a(1-c)+b(1-a)+c(1-b)<1$ (ĐPCM)

Ví dụ 4

Với mọi số dương $a,b,c,d$ ta có:

$$\sqrt{a^2+b^2}+\sqrt{c^2+d^2}\ge \sqrt{(a+c)^2+(b+d)^2}$$

Chứng minh:

Trên mặt phẳng toạ độ xét các điểm $O(0 ; 0),A(a;b),B(a+c;b+d).$

Ta có BĐT tam giác $OA+AB\ge OB.$

Vì $OA=\sqrt{a^2+b^2},AB=\sqrt{c^2+d^2},OB=\sqrt{(a+c)^2+(b+d)^2}$

Do đó ta có điều phải chứng minh

Ví dụ 5.

Chứng minh rằng $a+b+c=3$ thì:

$$\sqrt{a^2+ab+b^2}+\sqrt{b^2+cb+c^2}+\sqrt{a^2+ac+c^2}\ge 3\sqrt{3}$$

Chứng minh: Ta có

$\sqrt{a^2+ab+b^2}=\sqrt{(a+\frac{1}{2}b)^2+(\frac{\sqrt{3}}{2}b)^2}$

$\sqrt{b^2+cb+c^2}=\sqrt{(b+\frac{1}{2}c)^2+(\frac{\sqrt{3}}{2}c)^2}$

$\sqrt{a^2+ac+c^2}=\sqrt{(c+\frac{1}{2}a)^2+(\frac{\sqrt{3}}{2}a)^2}$

Xét các điểm $O(0;0),A(a++\frac{1}{2}b),B(a+b+b+\frac{1}{2}c;{\sqrt{3}}{2}b),C=(a+\frac{1}{2}b+b+\frac{1}{2}c+c++\frac{1}{2}a;{\sqrt{3}}{2}b+{\sqrt{3}}{2}c)$

Ta có $VT=OA+AB+BC \ge OC$

$=\sqrt{(\frac{3}{2}a+\frac{1}{2}b+\frac{3}{2}c)^2+(\frac{\sqrt{3}}{2}b+\frac{\sqrt{3}}{2}c+\frac{\sqrt{3}}{2}a)^2}$

$=3 \sqrt{3}=VP$ (ĐPCM.)

Sau đây em sẽ dưới thiệu các bài tập tự luyện

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi huynhmylinh: 18-05-2012 - 21:19

[hamdvk]

cho mình góp một bài nhé
Bài 1 Cho a,b,c là các số thực dương CMR
$\sqrt{a^{2}+b^{2}-ab}+\sqrt{b^{2}+c^{2}-bc}\geq \sqrt{a^{2}+c^{2}+ac}$

[Phạm Hữu Bảo Chung]

Bài 1. Cho a, b, c là các số thực dương. CMR
$\sqrt{a^{2}+b^{2}-ab}+\sqrt{b^{2}+c^{2}-bc}\geq \sqrt{a^{2}+c^{2}+ac}$

Giải

Trong hệ tọa độ Oxy, chọn:
$A = (\dfrac{a}{2}; \dfrac{\sqrt{3}a}{2}); B = (b \,; 0); C = (\dfrac{c}{2}; \dfrac{-\sqrt{3}c}{2})$

Theo Bất đẳng thức 3 điểm, ta có:
$AB + BC \geq AC$

$\Rightarrow \sqrt{(b - \dfrac{a}{2})^2 + (\dfrac{\sqrt{3}a}{2})^2} + \sqrt{(b - \dfrac{c}{2})^2 + (\dfrac{\sqrt{3}c}{2})^2} \geq \sqrt{(\dfrac{c}{2} - \dfrac{a}{2})^2 + (\dfrac{\sqrt{3}a}{2} + \dfrac{\sqrt{3}c}{2})^2}$

$\Leftrightarrow \sqrt{a^2 + b^2 - ab} + \sqrt{b^2 + c^2 - bc} \geq \sqrt{a^2 + c^2 + ac}$

Dấu "=" xảy ra khi:
Vectơ BA cùng phương với vectơ BC.
$\Rightarrow \dfrac{\dfrac{a}{2} - b}{\dfrac{\sqrt{3}a}{2}} = \dfrac{\dfrac{c}{2} - b}{\dfrac{\sqrt{3}c}{2}}$

$\Leftrightarrow \dfrac{a - 2b}{a} = \dfrac{c - 2b}{c} \Leftrightarrow 2b(a - c) = 0$
$\Leftrightarrow \left[\begin{array}{l} a = c\\b = 0\end{array}\right.$

Do a, b, c là các số thực dương nên $b \neq 0$

Thế điều kiện a = c vào đẳng thức:
$$\sqrt{a^{2}+b^{2}-ab}+\sqrt{b^{2}+c^{2}-bc} = \sqrt{a^{2}+c^{2}+ac}$$
Suy ra:
$2\sqrt{a^2 + b^2 - ab} = \sqrt{3a^2}$ $\Rightarrow a^2 - 4ab + 4b^2 = 0 \Rightarrow b = \dfrac{a}{2} = \dfrac{c}{2}$

[Ispectorgadget]

Bài 2: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức $$P=2\sqrt{x^2+1}+\sqrt{8x^2-36x+49}$$

[hamdvk]

cho mình góp một bài nhé
Bài 1 Cho a,b,c là các số thực dương CMR
$\sqrt{a^{2}+b^{2}-ab}+\sqrt{b^{2}+c^{2}-bc}\geq \sqrt{a^{2}+c^{2}+ac}$

------------------------------------
GIẢI

Vẽ tam giác ABD có $\widehat{ABD}=120^{\circ} ; AB=a ; BD=c$

Kẻ phân giác $Bx$, trên $Bx$ lấy $C$ sao cho $BC = b$

Xét $\Delta ABC$ có $\widehat{ABC}=60^{\circ}$

Suy ra $AC^{2}=a^{2}+b^{2}-2ab.cos60=a^{2}+b^{2}-ab$

CMTT: Xét $\Delta BDC$ $DC^{2}=c^{2}+b^{2}-2cb.cos60=c^{2}+b^{2}-cb$

Xét $\Delta BAD$ $DA^{2}=c^{2}+a^{2}-2ca.cos120=c^{2}+a^{2}+ac$

Theo tính chát đường gấp khúc có $AC + DC \geq AD$
Suy ra đpcm

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi hamdvk: 17-07-2012 - 10:11

[Dung Dang Do]

Bài 3:
Chứng minh rằng với mọi $x,y,z$ ta có:
$$\sqrt{x^2+xy+y^2}+\sqrt{y^2+zy+z^2}\ge \sqrt{z^2+xz+x^2}$$
Bài 4: Tìm Min của hàm số
$$y=\sqrt{x^2-x+1}+\sqrt{x^2+x+1}$$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi nguyenta98ka: 21-05-2012 - 19:58

[ducthinh26032011]

Bài 3:
Chứng minh rằng với mọi $x,y,z$ ta có:
$$\sqrt{x^2+xy+y^2}+\sqrt{y^2+zy+z^2}\ge \sqrt{z^2+xz+x^2}$$
Bài 4: Tìm Min của hàm số
$$y=\sqrt{x^2-x+1}+\sqrt{x^2+x+1}$$

4)Sử dụng Bđt Min-cốp-xki
$y=\sqrt{x^{2}+x+1}+\sqrt{x^{2}-x+1}=\sqrt{(x+\frac{1}{2})^{2}+\frac{3}{4}}+\sqrt{(\frac{1}{2}-x)^{2}+\frac{3}{4}}\geq \sqrt{(x+\frac{1}{2}+\frac{1}{2}-x)^{2}+(\frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2})^{2}}=2$
Dấu $"="$ xảy ra khi $x=0$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi huynhmylinh: 05-06-2012 - 07:59