Chủ đề này có 3 trả lời

[tieulyly1995]

Đề thi thử lần 7 môn Toán Đại học Sư phạm Hà Nội 2012

[Crystal]

ĐỀ THI THỬ ĐẠI HỌC NĂM 2012 - LẦN 7 - CHUYÊN ĐHSP HÀ NỘI

Môn: TOÁN

Thời gian làm bài: 180 phút

Thi ngày: 20/05/2012

Câu 1. (2 điểm) Cho hàm số $y = {x^3} - 3x + 2$

1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị $\left( C \right)$ của hàm số.

2. Cho hai điểm $A\left( {0;4} \right),\,\,B\left( {\frac{7}{2};\frac{9}{4}} \right)$. Hãy tìm tọa độ điểm $M$ thuộc đồ thị $\left( C \right)$, sao cho tam giác $ABM$ cân tại $M$.

Câu 2. (2 điểm)

1. Giải phương trình: \[3{\sin ^2}x\cos \left( {\frac{{3\pi }}{2} + x} \right) - {\sin ^2}\left( {\frac{\pi }{2} + x} \right)\cos x = \sin x{\cos ^2}x - 3{\sin ^2}x\cos x\]

2. Giải bất phương trình: \[\left( {x - \frac{{2x + 4}}{{2x - 5}}} \right)\sqrt {10x - 3{x^2} - 3} \ge 0\]

Câu 3. (1 điểm)
Tính tích phân: $I = \int\limits_0^{\frac{\pi }{6}} {\frac{{dx}}{{5{{\cos }^2}x - 8\sin x\cos x + 3{{\sin }^2}x}}} $
Câu 4. (1 điểm)
Cho hình lăng trụ $ABC.A'B'C'$ có độ dài cạnh bên bằng $2a$, đáy $ABC$ là tam giác vuông tại $A$, $AB = a,\,AC = a\sqrt 3 $ và hình chiếu vuông góc của đỉnh $A'$ trên mặt phẳng $(ABC)$ là trung điểm của cạnh $BC$. Tính thể tích khối chóp $A.BCC'B'$ theo $a$.

Câu 5. (1 điểm)
Cho các số dương $a,b,c$ thay đổi, thỏa mãn $a+b+c=1$. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:
\[S = \sqrt {\frac{{ab}}{{ab + c}}} + \sqrt {\frac{{bc}}{{bc + a}}} + \sqrt {\frac{{ac}}{{ac + b}}} \]
Câu 6. (2 điểm)
1. Trong mặt phẳng $Oxy$ cho hai điểm $A\left( { - 11;3} \right),\,\,B\left( {9; - 7} \right)$. Lập phương trình đường thẳng song song với đường thẳng $AB$, cắt đường tròn đường kính $AB$ tại $C,D$ sao cho $C,D$ và hình chiếu vuông góc của chúng trên đường thẳng $AB$ là 4 đỉnh của một hình vuông.

2. Trong không gian $Oxyz$ cho hình lăng trụ đứng $ABC.{A_1}{B_1}{C_1}$ với $A\left( {0; - 3;0} \right),\,\,B\left( {4;0;0} \right),\,C\left( {0;3;0} \right),\,{B_1}\left( {4;0;4} \right)$. Tìm tọa độ các đỉnh $A_1,\,C_1$ và lập phương trình mặt cầu có tâm là $A$ và tiếp xúc với mặt phẳng $\left( {BC{C_1}{B_1}} \right)$.

Câu 7. (1 điểm)
Cho các số phức ${z_1} = 4 + 3i,\,\,{z_2} = - i$. Hãy tìm phần ảo của số phức:
\[z = {\left( {\frac{{{z_1} - 3\overline {{z_2}} }}{{4{z_2}}}} \right)^{2015}}\]

[center]----HẾT----

[hoangtrong2305]

Câu 2. (2 điểm)

2. Giải bất phương trình: \[\left( {x - \frac{{2x + 4}}{{2x - 5}}} \right)\sqrt {10x - 3{x^2} - 3} \ge 0\]

$(x-\frac{2x+4}{2x-5})\sqrt{10x-3x^{2}-3}\geq 0$

ĐKXĐ: $\frac{1}{3}\leq x\leq 3$ (*)

$(x-\frac{2x+4}{2x-5})\sqrt{10x-3x^{2}-3}\geq 0$

Nhận xét: Do $\sqrt{10x-3x^{2}-3}\geq 0$ nên để $(x-\frac{2x+4}{2x-5})\sqrt{10x-3x^{2}-3}$ lớn hơn hoặc bằng $0$ thì $x-\frac{2x+4}{2x-5}\geq 0$

$x-\frac{2x+4}{2x-5}\geq 0$

ĐKXĐ: $x\neq \frac{5}{2}$

$x-\frac{2x+4}{2x-5}\geq 0$

$\Leftrightarrow \frac{2x^{2}-7x-4}{2x-5}\geq 0$


TH1: $x> \frac{5}{2}$

$\Rightarrow 2x^{2}-7x-4\leq 0$

$\Rightarrow x\geq 4$

So với (*) thì TH này vô nghiệm


TH2: $x> \frac{5}{2}$

$\Rightarrow 2x^{2}-7x-4\geq 0$

$\Rightarrow -\frac{5}{2}\leq x< \frac{5}{2}$

So với (*), ta nhận kết quả sau:

$$\boxed{\frac{1}{3}\leq x< \frac{5}{2}}$$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi hoangtrong2305: 22-05-2012 - 15:42

[NLT]

Câu 5. (1 điểm)

Cho các số dương $a,b,c$ thay đổi, thỏa mãn $a+b+c=1$. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:
\[S = \sqrt {\frac{{ab}}{{ab + c}}} + \sqrt {\frac{{bc}}{{bc + a}}} + \sqrt {\frac{{ac}}{{ac + b}}} \]

SOLUTION:
Ta có:$ab + c = ab + c\left( {a + b + c} \right) = \left( {b + c} \right)\left( {c + a} \right)$ (do $a+b+c=1$)
$ \Rightarrow \sqrt {\frac{{ab}}{{ab + c}}} = \sqrt {\frac{{ab}}{{\left( {b + c} \right)\left( {c + a} \right)}}} = \sqrt {\frac{b}{{b + c}}} .\sqrt {\frac{a}{{c + a}}} \le \frac{1}{2}.\left( {\frac{b}{{b + c}} + \frac{a}{{c + a}}} \right)$ (theo $AM-GM$)
Tương tự: $\sqrt {\frac{{bc}}{{bc + a}}} \le \frac{1}{2}\left( {\frac{b}{{a + b}} + \frac{c}{{c + a}}} \right);\sqrt {\frac{{ca}}{{ca + b}}} \le \frac{1}{2}\left( {\frac{c}{{b + c}} + \frac{a}{{a + b}}} \right)$
Cộng vế theo vế, ta được: $S \le \frac{3}{2}$
Vậy $MinS = \frac{3}{2} \Leftrightarrow a = b = c = \frac{1}{3}$.
Bài toán kết thúc...
---
P/S: Góp vui cho mấy anh một bài !
---