Chủ đề này có 1 trả lời

[Zaraki]

Chứng minh Định lí Pytago bằng cách ghép hình sưu tầm bởi thầy Nguyễn Phước, Huế.





Một số cách chứng minh định lí Pitago trong sách của Elisha Scott Loomis (Minh họa bằng GSP)

Cách 1: Chứng minh của E. A. Coolidge


Cách chứng minh này xuất hiện trong cuốn sách về các vấn đề kinh điển thuộc học thuyết Pitago của tác giả Elisha Scott Loomis, được xuất bản lần đầu tiên bởi Hội đồng giáo viên quốc gia của môn toán học, vào năm 1927. Thật đáng tiếc, quyển sách này hiện nay không được xuất bản nữa, trong cuốn sách này có tới trên 300 cách chứng minh định lý Pitago, trong đó, có nhiều cách chứng minh tương tự nhau, và tất cả các cách chứng minh nổi tiếng đều có trong cuốn sách của Loomis.

Cách chứng minh dưới đây thì tương tự như cách chứng minh của Bhaskara trong phần “Behold!” đã giới thiệu ở bài trước. Cách chứng minh này được đăng trên tạp trí giáo dục, xuất bản hàng ngày, và tác giả của nó là cô E. A. Coolidge - là một người mù.





Dựng hình và kiểm tra


1. Vẽ một tam giác vuông và các hình vuông trên các cạnh của nó (dùng công cụ custom)


2. Kéo dài tia HA, lấy điểm A’ đối xứng với điểm H qua A bằng cách :


+ Chọn đoạn HA và điểm A


+ Chọn menu Transform --> Rotate --> degrees =180


3. Vẽ một đường thẳng đi qua điểm B và vuông góc với đoạn AA’, Vẽ điểm giao K của 2 đường này.


( Hình bên minh họa cho các bước từ 1 đến 3)


4. Vẽ hình vuông A’KLM.


(Sử dụng công cụ Custom tool như đã giới thiệu ở bài 1)


5. Vẽ Đoạn BK, GM, FL.


6. Làm ẩn đi đường BK.





7. Tô màu cho 4 mảnh trong hình vuông trên cạnh huyền.


8. Đánh dấu vectơ EJ và dịch chuyển 4 đỉnh và 4 cạnh của hình vuông BCDE

theo vectơ này (để được hình vuông bên dưới hình vuông trên cạnh b có

diện tích bằng diện tích hình vuông BCDE )


+ Đánh dấu theo thứ tự điểm E, J

+ Chọn menu Transform --> Mark vector

+ Đánh dấu 4 cạnh và 4 đỉnh của hình vuông BCDE


+ Chọn vào Menu Transform --> Translate.

9. Như vậy miền diện tích trên cạnh b bây giờ là a² + b² . Sử dụng công cụ Translator để di chuyển các các mảnh là bản sao của các mảnh trong hình




vuông trên cạnh huyền vào trong miền có diện tích a² + b² trên cạnh b.

Chú ý:

- Hãy thử thay đổi tam giác của bạn, và quan sát xem các mảnh tương ứng còn lại có bằng nhau nữa không.?

- Chú ý rằng, trong trương hợp dựng hình như thế này cạnh b cần phải luôn được giữ là cạnh bên dài hơn nếu không thì sự dựng hình như trên sẽ bị sai.

- Trường hợp đặc biệt trước khi việc dựng hình bi sai là trương hợp cạnh b dài bằng cạnh a thì hình vuông A’KLM biến mất.

- Bạn hãy giải thích xem tại sao với cách làm trên các mảnh có thể xếp vừa khít với miền diện tích trên cạnh b..

Cách 2: Chứng minh của Ann Condit


Đây cũng là một cách chứng minh được giới thiệu trong cuốn sách của Elisha Scott Loomis. Ann Condit nghĩ ra cách chứng minh này vào năm 1938 khi cô mới 16 tuổi và là sinh viên của trường trung học ở miền nam Ấn Độ.





Dựng hình và kiểm tra


1. Dựng đoạn thẳng AB.


2. Vẽ trung điểm D của đoạn thẳng này


3. Vẽ đường tròn bán kính DA.


4. Vẽ đoạn BC và AC , với C là một điểm nằm trên đường tròn. Như vvậy ta đã dựng được tam giác vuông ABC vuông tại C.


5. Vẽ các hình vuông trên các cạnh của tam giác vuông ABC.


6. Vẽ các trung điểm L, M, N của các cạnh phía ngoài của các hình vuông.


7. Vẽ các đoạn DL, DM, DL.





8. Vẽ đoạn FG, Vẽ tia DC, và điểm P là giao điểm cuat tia DC và đoạn FG, sau đó làm ẩn đi tia DC và hiện đoạn DP.

9. Tô màu khác nhau cho diện tích các tam giác DCF, DCG, và DBK.


Cách chứng minh này đưa ra mối liên quan giữa diện tích của các hình tam giác được tô màu với diện tích của các hình vuông trên các cạnh tam giác vuông.


Chọn menu Measure --> calculate để tính được tỉ lệ diện tích của các tam giác với các hình vuông tương ứng.

10. Đo diện tích các tam giác, và di chuyển điểm C quanh một nửa đường tròn trên đường kính AB.

Ta nhận thấy: tổng diện tích của 2 tam giác nhỏ luôn bằng diện tích của tam giác lớn hơn. Và tổng diện tích này không đổi khi điểm C chuyển động trên đường tròn. (xem hình bên dưới).









Nhận xét:


Bạn có thể đã phát hiện ra rằng tổng diện tích của 2 tam giác nhỏ luôn bằng diện tích của tam giác lớn hơn( DBK). Nếu bạn có thể chứng minh được điều này là đúng , và nếu bạn có thể liên hệ từ các diện tích này

Với diện tích của các hình vuông, thì bạn sẽ chưngd minh được định lý

Pitago. Sau đây là các bước gợi ý để giúp bạn chứng minh định lý.


1. Các tam giác DCG, DCF, và DBK cóchiều dài 1 cạnh bằng nhau đó là : DC và BD( cì đều bằng bán kính đườn tròn.

2. Đoạn PF và PG theo thứ tự là đường cao của 2 tam giác DCF và DCG.

3. Chỉ ra rằng dt DCG + dt DCF = dt DBK.

4. So sánh DCF, DCG, DBK theo thứ với diện tích của các hình vuông CFEB, CAHG, BAGK ?

5. Nếu bạn làm được những yêu cầu trên thì bạn đã chứng minh được định lý Pitago.

Cách 3: Chứng minh của Leonardo da Vinci

Leonardo da Vinci (1452 – 1519) là một họa sĩ lớn , một kỹ sư, và là một nhà phát minh lớn người Ý trong thời kỳ phục hưng. Ông nổi tiếng trong nhiều lĩnh vực khác nhau, và là tác giả của bức họa nổi tiếng nàng Mona Lisa. Ông cũng được tín nhiệm trong cách chứng minh định lý Pitago dưới
đây.




Dựng hình và kiểm tra

1. Vẽ một tam giác vuông và các hình vuông trên hai cạnh bên của nó.

(Trong hình này bạn không phải vẽ hình vuông trên cạnh huyền).

2. Bạn hãy nối hai đỉnh của hai hình vuông để vẽ được một tam giác vuông thứ hai bằng với tam giác vuông ABC ban đầu.

3. Hãy vẽ một đoạn thẳng đi qua tâm của hình này, đó chính là đoạn thẳng đi qua C và nối hai điỉnh xa nhất của 2 hình vuông (là đường nét đứt trên hình bên).

4. Hãy vẽ trung điểm D của đoạn này.

5. Quan sát hình chúng ta thấy rằng: đây chính là đoạn thẳng chia hình thành 2 phần đối xứng nhau . Chọn tất cả các đoạn thẳng và các điểm nằm ở một phía của đường thẳng này, và tạo một nút hoạt động Hide/Show để làm ẩn /hiện phần hình được đánh dấu này.

Đặt lại tên cho nút này là Hide Reflection.


6. Kích chuột vào nút Hide Reflection này và bạn sẽ thấy được một nửa hình của ban đầu, phần hình đối xứng với nó bị ẩn đi (như hình bên dưới).


7. Đánh dấu điểm D làm điểm tâm và quay toàn bộ hình này 180^o quanh điểm D .


Như vậy chúng ta đã tạo ra một đa giác mới có diện tích đúng bằng diện tích của đa giác ban dầu.


8. Chọn đánh dấu tất cả các đối tượng ( đoạn thẳng và điểm) của phần

hình tạo được do xoay một nửa hình ban đầu và tạo1 nút hoạt động nữa.

Đặt tên cho nút này là Hide Rotation (xem hình bên dưới).

[Zaraki]

9. Vẽ đoạn A’B, và đoạn B’A. Như vậy chúng ta có thể dễ dàng nhận thấy tứ giác BA’B’A chính là hình vuông trên cạnh c

10. Tô màu cho diện tích của hình tứ giác BA’B’A và hai tam giác vuông liền kề nó.

11. Đánh dấu đoạn A’B, và đoạn B’A, và diện tích của 3 đa giác ( gồm 2 tam giác vuông và 1 hình tứ giác), và tạo thêm 1 nút hoạt động . Có tên là Hide c Squared.

Nhận xét: Từ các bước dựng hìnhnhư trên, chúng ta có thể hình dung được cách chứng minh định lý của Leonardo da Vinci:


+ Cách dựng hình ở bước 1 – 4 cho 1 đa giác có 2 nửa đối xứng nhau qua 1 dường thẳng. Đa giác này có diện tích bằng tổng diện tích của 2 hình vuông trên các cạnh bên a, b của tam giác vuông ABC và diện tích của 2 tam giác vuông( có độ dài 2 cạnh bên là a, b).

+ Khi xoay 1 nửa đa giác trên quanh điểm tâm D của đường phân cách 180^o  cho ta một đa giác mới có diện tích đúng bằng diện tích đa giác ba đầu.

+ Dựa vào hình vẽ ta thấy diện tích tứ giác BA’B’A = (a² + b² + 2ab) – 2ab = a² + b² (1)

+ Việc nối A với B’, B với A’ cho ta hình vuông BA’B’A. (Vì AB song song và bằng A’B’ ; A’B và AB’ cũng song song và bằng nhau ). Tứ giác BA’B’A chính là hình vuông có cạnh là c diện tích của hình vuông này là c² (2)

Tử (1) và (2) ta có được c² = a² + b² . Có nghĩa là định lý Pitago được chứng minh.

12. Hãy thử kích vào các nút Hide, sau đó lại kích lại vào chúng. Như vậy bạn sẽ thấy được sự biến đổi của các bước làm trên : từ 1 hình gồm 2 tam giác vuông và 2 hình vuông trên 2 cạnh bên biến đổi thành hình gồm 2 tam giác vuông và 1 hình vuông trên cạnh huyền của chúng. ( mà diện tích của toàn bộ hình không đổi). Đây chính là cách chứng minh định lý của daVinci.

Cách 4: Chứng minh của 1 tổng thống








James A. Garfield đã khám phá ra một cách chứng minh định lý Pitago vào

năm 1876, một vài năm trước khi ông ta trở tổng thống Hoa Kỳ. Một điều

thú vị là trong ngành toán học không chỉ có một người trở thành tổng

thống. Trước Garfield là ông Abraham Lincoln, là một thành viên của tổ

chức Euclid là một trong những tác giả của những cuốn sách có sức thuyết

phục nhất. Ông vừa là một luật sư vừa là một nhà chính trị. Cách chứng

minh của Garfield được minh họa với một hình tương dối đơn giản: là một

hình thang.

Dựng hình và kiểm tra .

1. Vẽ một tam giác vuông ABC và đặt tên các đỉnh như hình bên.

2. Đánh dấu điểm B làm tâm và quay cạnh c và điểm A theo B một góc 90^o .( sau bước này ta được hình bên)

3. Nối điểm A và A’ sau đó vẽ một đường thẳng đi qua A’ và song song với cạnh b.

4. Sử dụng công cụ Ray để kéo dài đoạn CB. Và vẽ điểm giao D cỉa của tia này với đường thẳng đi qua A’.


5. Làm ẩn đi tia và đường thẳng đi và thay vào đó là đoạn BD và DA’.


Như vậy ta có tứ giác ACDA’ là 1 hình thang vuông vì :


+ DA’ và CA song song( do cách dựng ở bước 3)

+ Góc ACB vuông( do ABC là tam giác vuông ban đầu) góc CDA’ vuông.

6. Tô màu đa giác theo 3 tam giác vuông bên trong nó.






7. Hãy đo độ dài cạnh a, b, c.Và bạn có thể sử dụng kết quả đo lường này để tính toán diện tích của 3 tam giác và tổng của chúng :

+ Đo độ dài các cạnh bằng cách : di chuột đến cạnh đó và kích chuột phải length

+ Đo diện tích tam giác : kích chuột phải lên tam giác đó chọn Area

+ Tính tổng các tam giác : chọn menu Measure  Calculate.

8. Sử dụng công thức tính diện tích của hình thanhg để tính diện tích hình ACDA’ chỉ dựa vào độ dài các cạnh.( dùng cái gì để đo chiều cao của hình thang vuông ?). Hãy vẽ miền trong đa giác của toàn bộ hình và xác nhận lại các tính toán của bạn đă làm là đúng.

- Trong cách chứng minh này từ cách dựng hình như trên , chúng ta tính được diện tích hình thang ACDA’ theo 2 cách :

Cách 1: Tính theo 3 tham số a, b, c (dựa vào hình vẽ ta thấy diện tích hình thang bằng tổng diện tích 3 tam giác vuông trong đó 2 tam giác vuông màu đỏ có diện tích bằng nhau do tính chất của phép quay) thì ta có :

Dt = 2*ab /2 + c*c /2 (1)

Cách 2: tính theo 2 tham số a. b(dựa vào công thức tính diện tích hình thang):

Dt = (a+ b) *(a+b)/2 (2)

Từ (1) và(2) ta có Dt =ab+ c2/2 = (a+b)2/2  c2 = a2 + b2. chính là điều phải chứng minh.

Cách 5: Chứng minh định lý Pitago của Perigal

- Có nhiều cách chứng minh định lý Pitagocó nguồn gốc từ cổ xưa, nhưng lại được chứng minh lại bởi những người không biết đến nguồn gốc cổ xưa của nó. Đây là một cách chứng minh mà được ’ khám phá’ ra bởi nhà toán học Henry Perigal vào năm 1873, nhưng cách chứng minh này lại được biết đến là cách chứng minh của nhà toán học người A- rập Tâbit ibn Qorra.a cách đó hàng nghìn năm.




Dựng hình và kiểm tra


1. Vẽ một hình vuông CADE.

2. Vẽ một hình vuông nhỏ hơn sát ngay hình vuông CADE vừa vẽ sao cho 2 hình vuông này có chung một đỉnh( là A) và đỉnh thứ hai của hình vuông nhỏ nằm trên cạnh DA( đỉnh G)  hình vuông nhỏ tạo được là hình vuông AGFB. Đặt tên cho độ dài cạnh của 2 hình vuông này lần lượt là b, a .
(hình bên minh họa cho bước 1 – 2).

3. Đánh dấu đoạn AB như 1 vectơ và dịch chuyển điểm C theo vectơ này. Cách làm như sau :
--> Chọn ( theo thứ tự) điểm A và điểm B, sau đó chọn Mark Vector từ menu Transform. Sau đó chọn chọn điểm C và chọn Translate từ menu Transform.

4. Vẽ đoạn thẳng EC’ và C’F.

5. Tô màu cho miền trong các đa giác là tam giác ( tam giác ECC’, và tam giác C’FB).





Nhận xét: Chúng ta bắt đầu dựng hình với 2 hình vuông liền kề với nhau, và bên trong của hình này chúng ta dựng hai tam giác vuông :

+ Trong tam giác vuông ECC’ ta có cạnh EC là cạnh hình vuông lớn nên có độ dài là b ; cạnh CC’ là kết quả của việc dịch chuyển điểm C theo vectơ AB nên CC’ dài bằng đoạn AB có độ dài là a.



+

Trong tam giác C’FB ta có cạnh FB là cạnh của hình vuông nhỏ, nên có độ dài là a. Cạnh C’B có độ dài bằng b ( Vì đoạn CC’ dài bằng đoạn AB).

--> Như vậy 2 tam giác vuông ECC’ và C’FB là 2 tam giác có diện tích bằng nhau là (a*b) /2.

Gọi độ dài cạnh huyền cuả tam giác vuông này là c.

6. Sử dụng công cụ Translator để chuyển dịch tam giác ECC’ từ điểm C đến điểm G , và để chuyển tam giác C’BF từ điểm B tới điểm D.(Xem lại bài tạo công cụ Translator đã giới thiệu)  Việc dịch chuyển các tam giác không làm thay đổi kích thước của các tam giác đó.

7. Đánh dấu điểm E làm tâm và quay điểm C’ một góc 90^o để tạo thành hình vuông EC’FC’’.

Nhận xét:

- Vì EC là cạnh của tam giác vuông ECC’ nên hình vuông EC’FC’’ có diện tích là c².

Vì tam giác vuông ECC’ được di chuyển thành tam giác C’’GF :  góc ECC’ = góc C’’GF( = 90^o ).

Cạnh CC’ = cạnh GF( = a).

Cạnh CE = cạnh GC’’( =b).

Diện tích tam giác ECC’’= diện tích tam giác C’’GB.

Tương tự ta có : Diện tích tam giác C’BF = diện tích tam giác EDC’’.

Vậy ta có diện tích của tứ giác EC’FC’’ băng tổng diện hai hình vuông có cạnh b, a ban đầu. Nên diện tích EC’FC’’ = a² + b².

Đồng thời vì EC’FC’’ cũng là hình vuông có độ dài cạnh bằng độ dài cạnh

huyền cuả tam giác vuông có các cạnh bên là b, a( dựng hình bước 7).

Nên diện tích của hình vuông EC’FC’’= c² . Hay trong 1 tam giác vuông có c²= a² + b² (c là cạnh huyền, a,b là 2 cạnh bên).

Vậy có nghĩa là ta đã chứng minh được định lý Pitago.

Theo: vnmath.com