Chủ đề này có 3 trả lời

[Beautifulsunrise]

Cho tứ diện OABC vuông tại O.Gọi x, y, z lần lượt là góc giữa đg cao OH với OA, OB, OC. Tìm GTNN của:
P = $\frac{cosx +cosy}{cos^2z}+\frac{cosy +cosz}{cos^2x}+\frac{cosz +cosx}{cos^2y}$

[tolaphuy10a1lhp]

Cho tứ diện OABC vuông tại O.Gọi x, y, z lần lượt là góc giữa đg cao OH với OA, OB, OC. Tìm GTNN của:
P = $\frac{cosx +cosy}{cos^2z}+\frac{cosy +cosz}{cos^2x}+\frac{cosz +cosx}{cos^2y}$(1)

Vẽ chiều cao OH, ta có $\frac{1}{OH^{2}}=\frac{1}{OA^{2}}+\frac{1}{OB^{2}}+\frac{1}{OC^{2}}$
$\Rightarrow cos^{2}x+cos^{2}y+ cos^{2}z =1$
Đặt cosx =a, cosy = b, cosz = c thì (1) trở thành: $P=\frac{a+b}{c^{2}}+\frac{c+b}{a^{2}}+\frac{a+c}{b^{2}}$

Tìm GTNN như bạn le_hoang1995:

Theo BĐT AM-GM ta có $\frac{b}{a^2}+\frac{1}{b}\geq \frac{2}{a}$
Tương tự rồi cộng lại, ta được $VT\geq \frac{2}{a}+\frac{2}{b}+\frac{2}{c}$.
Mà theo BĐT cauchy-schwarz ta có
$$ \frac{2}{a}+\frac{2}{b}+\frac{2}{c}\geq \frac{2.9}{a+b+c}\geq \frac{18}{\sqrt{3(a^2+b^2+c^2)}}=6\sqrt{3}$$
Dấu bằng xảy ra khi $a=b=c=\frac{1}{\sqrt{3}}$

Thêm câu b: Tìm GTLN của $\frac{cos^{2}x}{sin^{2}y+sin^{2}z}+\frac{cos^{2}y}{sin^{2}x+sin^{2}z}+\frac{cos^{2}z}{sin^{2}x+sin^{2}y}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi tolaphuy10a1lhp: 13-07-2012 - 00:06

[Beautifulsunrise]

Thêm câu b: Tìm GTLN của $\frac{cos^{2}x}{sin^{2}y+sin^{2}z}+\frac{cos^{2}y}{sin^{2}x+sin^{2}z}+\frac{cos^{2}z}{sin^{2}x+sin^{2}y}$
Vẽ chiều cao OH, ta có $\frac{1}{OH^{2}}=\frac{1}{OA^{2}}+\frac{1}{OB^{2}}+\frac{1}{OC^{2}}$
$\Rightarrow cos^{2}x+cos^{2}y+ cos^{2}z =1$
Đặt cosx =a, cosy = b, cosz = c thì (1) trở thành: $P=\frac{a+b}{c^{2}}+\frac{c+b}{a^{2}}+\frac{a+c}{b^{2}}$

Q = $\frac{cos^{2}x}{sin^{2}y+sin^{2}z}+\frac{cos^{2}y}{sin^{2}x+sin^{2}z}+\frac{cos^{2}z}{sin^{2}x+sin^{2}y}$
$=\frac{a^{2}}{2 - b^{2}- c^{2}}+\frac{b^{2}}{2 - c^{2}- a^{2}}+\frac{c^{2}}{2 - a^{2}- b^{2}} $
= 3 - ($\frac{1}{2 - b^{2}- c^{2}}+\frac{1}{2 - c^{2}- a^{2}}+\frac{1}{2 - a^{2}- b^{2}}$)
$\le 3 - \frac{9}{4}= \frac{3}{4}$
Vậy MaxQ =$\frac{3}{4}$ <=> a = b = c = $\frac{1}{\sqrt 3} $

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi binhmetric: 13-07-2012 - 09:09

[tolaphuy10a1lhp]

Cho tứ diện OABC vuông tại O.

Câu c) Cho $OA+OB+OC+AB+AC+BC=m$ $(m > 0)$ và $V$ là thể tích tứ diện.
Chứng minh: $V \le \frac{{{m^3}{{\left( {\sqrt 2 - 1} \right)}^3}}}{{162}}$. Khi nào dấu đẳng thức xảy ra.